Решение нелинейного уравнения методом хорд (Pascal и MathCAD)

Оглавление

Оглавление        2

Введение        3

Постановка задачи        4

Описание метода решения        4

Программа вычисления корней уравнения методом хорд на языке программирования PascalABC        7

Вычисление корней уравнения в среде математического пакета MathCAD        11

Выводы        12

Введение

Цель контрольной работы:

изучение с численными методами решения нелинейных уравнений, реализация решения предложенной задачи на одном из языков программирования высокого уровня и в среде одного из математических пакетов. Сравнение полученных результатов.

Задачи контрольной работы:

- изучить и проанализировать учебную литературу о видах нелинейных уравнений и их основных свойствах;

- освоить основные приемы аналитического и итерационного методов решения нелинейных уравнений;

- проанализировать предложенную задачу, определить вид нелинейного уравнения для ее решения и выбрать численный метод его решения;

- реализовать решение предложенной задачи определенным методом из   в среде Free Pascal;

- реализовать решение предложенной задачи в среде математического пакета MathCAD;

- проанализировать и сравнить полученные результаты, сделать выводы.

Постановка задачи

Заземлитель, изготовленный в виде решетки прямоугольной формы из металлических труб, расположен горизонтально в грунте на глубине h.

Сопротивление заземления рассчитывается по формуле[pic 1]

[pic 2], где

π=3,14…, L=6 x l- суммарная длина труб, r – радиус труб, h – глубина, G -  удельная электропроводность грунта.

Задавшись параметрами из таблицы, определите размер l, соответствующий требуемому сопротивлению R.

Описание метода решения

Приведем задачу к задаче решения нелинейного уравнения и определим вид получившегося уравнения.

Заменим в исходной формуле L на [pic 3]:

 [pic 4]

Сформулируем задачу в виде уравнения f(l)=0.

[pic 5]

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, то есть показательную, логарифмическую, тригонометрические функции, относят к трансцендентным.

Получили трансцендентное нелинейное уравнение относительно l при известных значениях других параметров.

Решение нелинейных уравнений происходить в два этапа:

1) локализация (отделение) корней – на этом этапе определяют локализацию корней уравнения (т.е. промежутки оси абсцисс, на которых они находятся) и их количество;

2) вычисление корней уравнения одним из численных методов решения – на этом этапе находятся приближенные числовые значения корней уравнения.

Локализовать корни нелинейного уравнения можно графическим или табличным способом.

Отделим корни уравнения

[pic 6]

графически, построив график функции y=f(x) в математическом  пакете NathCAD , подобрав в случае необходимости, масштаб построения.

[pic 7]

Первое приближение графика позволяет сделать вывод, что заданное трансцендентное уравнение имеет единственный корень, и он находится на отрезке [0, 5].Это грубое приближение. Изменим масштаб графика, чтобы локализовать корень более детально.

[pic 8]

Уточнение дает более точный промежуток нахождения корня трансцендентного уравнения [1.023, 1.025].

Применим для решения уравнения метод хорд. Суть метода заключается в следующем.

Пусть отрезок [pic 9], на котором [pic 10] меняет знак. Для определенности примем [pic 11].