Метод прогонки решения сеточных уравнений
Автор: Данил Янтурин • Июнь 24, 2024 • Лабораторная работа • 950 Слов (4 Страниц) • 45 Просмотры
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова»
(ФГБОУ ВО «МГТУ им. Г.И. Носова»)
Лабораторная работа №3
«МЕТОД ПРОГОНКИ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ"
Выполнил: Харрасова С.Н.., группа ТСМм-23
Проверил: Колдин А.В., доцент кафедры ПиТФ, к.т.н.
Магнитогорск, 2024
Теоретическое введение
Метод прогонки является модификацией метода исключения Гаусса. В соответствии с этим методом решение для системы линейных алгебраических уравнений:
[pic 1]
ищется в виде линейной функции
[pic 2]
неизвестные коэффициенты которой определяются из соотношений:
[pic 3]
Формулы (3.1–3.3) дают процедуру решения. Сначала при i = 2, 3,..., N считаются прогоночные коэффициенты (3.3), при этом начальные значения прогоночных коэффициентов β 2 , z2 определяются из граничных условий на левой границе (i = 1). Эта операция называется прямой прогонкой. После определения всех β i , zi в обратном направлении (i = N, N− 1,..., 2) с учетом значения параметра TN +1 , найденных из граничного условия на правой границе (i = N + 1), по формуле (3.2) последовательно находятся неизвестные значения Ti в узловых точках сетки.
При решении задачи стационарной теплопроводности плоского слоя на поверхностях задаются граничные условия конвективного теплообмена:
[pic 4]
где λ – коэффициент теплопроводности; α – коэффициент теплоотдачи; Тп, Тс – соответственно температуры поверхности и окружающей среды; знаки (+) и (–) соответственно для левой (i = 0) и правой (i = N) границ; N – число разбиений сетки по толщине плоского слоя. Тогда начальные значения прогоночных коэффициентов принимают вид:
[pic 5]
Значение температуры на правой границе;
[pic 6]
Алгоритм метода прогонки:
[pic 7]
Выполнение работы
Алгоритм прогонки реализуется для этой системы при N=4, Тл=0 и Тп=100, А=С=1, В=-2 следующим способом:
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
;[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Определяем относительную погрешность в центральной точке слоя численного ТN/2+1 и аналитического Т(х=δ/2)=(Тл+Тп)/2=Тп/2 решений по формуле:
[pic 17]
Относительная погрешность составляет R = 50%
Проводим вычислительный эксперимент на сгущающейся сетке, и строим график зависимости R(N)
Таблица 1
n | R,% |
4 | 50 |
6 | 33 |
8 | 25 |
10 | 20 |
12 | 17 |
14 | 14 |
16 | 13 |
18 | 11 |
20 | 10 |
22 | 9 |
24 | 8 |
26 | 8 |
28 | 7 |
30 | 7 |
32 | 6 |
34 | 6 |
36 | 6 |
38 | 5 |
40 | 5 |
42 | 5 |
44 | 5 |
46 | 4 |
[pic 18]
Программа:
program Example_3;
const n = 4;
h = 1/n;
var
T: array [0..n] of real;
beta,zeta : array [1..n] of real;
aa,bb,cc,ff : real;
T1,T2,alpha1,alpha2,lambda,lah : real;
i : integer;
begin
{1. Ввод исходных данных}
T1:= 0;
T2:= 100;
alpha1:=10e10;
alpha2:=10e10;
lambda:=20;
{2. Рабочий блок}
aa := 1;
bb := -2;
cc := 1;
ff := 0;
...