Метод прогонки решения сеточных уравнений

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова»

(ФГБОУ ВО «МГТУ им. Г.И. Носова»)

Лабораторная работа №3

 «МЕТОД ПРОГОНКИ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ"

        Выполнил: Харрасова С.Н.., группа  ТСМм-23

                                       Проверил: Колдин А.В., доцент кафедры ПиТФ, к.т.н.

Магнитогорск, 2024

 Теоретическое введение

 Метод прогонки является модификацией метода исключения Гаусса. В соответствии с этим методом решение для системы линейных алгебраических уравнений:

[pic 1]

ищется в виде линейной функции

[pic 2]

неизвестные коэффициенты которой определяются из соотношений:

[pic 3]

Формулы  (3.1–3.3) дают процедуру решения. Сначала при i = 2, 3,..., N считаются прогоночные коэффициенты (3.3), при этом начальные значения прогоночных коэффициентов β 2 , z2 определяются из граничных условий на левой границе (i = 1). Эта операция называется прямой прогонкой. После определения всех β i , zi в обратном направлении (i = N, N− 1,..., 2) с учетом значения параметра TN +1 , найденных из граничного условия на правой границе (i = N + 1), по формуле (3.2) последовательно находятся неизвестные значения Ti в узловых точках сетки.

При решении задачи стационарной теплопроводности плоского слоя на поверхностях задаются граничные условия конвективного теплообмена:

[pic 4]

где λ – коэффициент теплопроводности; α – коэффициент теплоотдачи; Тп, Тс – соответственно температуры поверхности и окружающей среды; знаки (+) и (–) соответственно для левой (i = 0) и правой (i = N) границ; N – число разбиений сетки по толщине плоского слоя. Тогда начальные значения прогоночных коэффициентов принимают вид:

[pic 5]

Значение температуры на правой границе;

[pic 6]

Алгоритм метода прогонки:

[pic 7]

 Выполнение работы

Алгоритм прогонки реализуется для этой системы при N=4, Тл=0 и Тп=100, А=С=1, В=-2 следующим способом:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

;[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Определяем относительную погрешность в центральной точке слоя численного ТN/2+1 и аналитического Т(х=δ/2)=(Тл+Тп)/2=Тп/2 решений по формуле:

[pic 17]

Относительная погрешность составляет R = 50%

Проводим вычислительный эксперимент на сгущающейся сетке, и строим график зависимости R(N)

Таблица 1

[pic 18]

Программа:

program Example_3;

const n = 4;

        h = 1/n;

var

T: array [0..n] of real;

        beta,zeta : array [1..n] of real;

        aa,bb,cc,ff : real;

        T1,T2,alpha1,alpha2,lambda,lah : real;

        i : integer;

begin

{1. Ввод исходных данных}

        T1:= 0;

        T2:= 100;

        alpha1:=10e10;

        alpha2:=10e10;

        lambda:=20;

{2. Рабочий блок}

        aa := 1;

        bb := -2;

        cc := 1;

        ff := 0;