Математическое моделирование

1. Математическое моделирование

В последнее время математическое моделирование развивается довольно быстрыми темпами из-за потребностей в различных сферах общества. На данный момент довольно трудно указать область деятельности человека, где бы не применялось моделирование. Математическое моделирование играет синтезирующую роль во многих научных дисциплинах: математике, физике, биологии, химии и др.

Математическое моделирование предполагает в качестве специфического средства исследования оригинала использовать его математическую модель, при изучении которой будет получена новая информация об объекте познания и его закономерностях (Бусленко Н.П., Глинский Б.А., Гнеденко Б.В., Кудрявцев Л.Д., Новик И.Б., Рузавин Г.И., Рыбников К.А., Штофф В.А. и др.).

Идея математического моделирования заключается в замещении изучаемого объекта его аналогом, который отражает его важные свойства в математической форме. В общем случае объектом-оригиналом является искусственная или естественная, воображаемая или реальная система.^[1]

При построении содержательной модели необходимо сформулировать соответствующие гипотезы (постулаты модели). Включение модели в ту или иную науку дает возможность применять законы и иные утверждения, установленные в этой науке. Важно помнить, при построении модели необходимо перейти к упрощенному, схематическому описанию. Также, надо понимать, что математика применяется не к реальному объекту, а к его математической модели. В общих чертах схема применения показана на рис.1.

На основе содержательной модели составляются соответствующие уравнения или каким-то иным образом стоит перевести на формальный математический язык и тем самым выполнить переход к математической модели; в этом заключается первый этап – построение модели. На данном этапе происходит неформальное обсуждение постановки задачи и классификация исследователя в рассматриваем области.

Второй этап или решение полученной математической модели. На данном этапе происходит выбор метода решения и реализация; сюда входит и проведение всех необходимых вычислений.

Это изучение проводится в рамках математики, но и имеется одна важная особенность. Все элементы математической модели являются «метками» соответствующих реальных элементов. Это дает некоторую возможность в процессе решения математической задачи, использовать дополнительные сведения, которые будут упрощать весь процесс или выделять из нескольких решений то, которое нужно, и т. д.

Когда получено решение математической задачи, необходимо его проанализировать и разобраться в его реальном смысле, сделать выводы. В этом и состоит третий этап – интерпретация результата исследования математической модели. В данный этап также может входить контроль правильности модели на основе сравнения результата с другими известными фактами, в частности, с экспериментальными данными, и т. д.

Приведенные выше этапы тесно связаны между собой. При построении математической модели необходимо опираться на содержание предполагаемого метода решения математической задачи.

Реальный объект может иметь несколько неравносильных математических моделей, что связано с необходимостью исследования различных систем его свойств. Объект можно описать как детерминированной, так и стохастической моделями, как непрерывной, так и дискретной и т. д. Для направления исследования важен выбор типа модели, который зависит от моделируемого объекта.

Умение правильно выбрать математическую модель уже из известных или построить новую требует необходимых математических и специальных знаний и соответствующих навыков. Как пишет А. Н. Тихонов, «опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель (математическую – А. М.) – значит решить проблему больше, чем наполовину»^[2].

Основным требованием, применяемым к математической модели, является требование ее адекватности (правильного соответствия). Прежде всего под этим понимается:

1. правильное качественное описание рассматриваемых свойств объекта: правильно сделать вывод о характеристике колебаний, о количественных изменениях каких-либо количественных характеристик, о их взаимосвязи, об устойчивости его состояния или эволюции и т. п.;
2. правильное количественное описание свойств с довольно разумной точностью.

В зависимости, ставится ли условие 2 или нет, принято говорить о качественных или количественных моделях. Вместо количественной адекватности говорят о точности модели.