Линейная алгебра

Тема: «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Необходимо:

1. вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элементы какой-нибудь строки (столбца);

2. решить методом Гаусса систему уравнений

Вариант № 1

1.

Вариант № 17

Вариант № 1

Решение:

Поменяем местами первый и третий столбцы, знак определителя при этом поменяется.

С помощью элементарных преобразований строк (умножение строки на ненулевое число, перестановка двух строк и прибавление к одной строке другой строки) обратим в нуль все, кроме первого, элементы первого столбца.

Сложим первую и вторую строки, умножим первую строку на (-2) и сложим с третьей строкой, умножим первую строку на (-1) и сложим с четвертой строкой, получим:

Мы обратили в ноль все, кроме первого, элементы первого столбца.

Разложим определитель по первому столбцу.

, где A_11=(-1)^(1+1) M_11- алгебраическое дополнение

Вычислим минор M_11, используя правило треугольников:

Тогда

.

Ответ:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы, т. е. матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

Преобразуем расширенную матрицу так, чтобы она стала трапециевидной, с помощью перестановки строк и умножения элементов какой-либо строки на число и сложения с соответствующими элементами другой строки

Поменяем местами первый и третий столбцы:

Первую строку умножим на (-9) и сложим со 2-ой строкой, первую строку умножим на 3 и сложим с третьей строкой, первую строку умножим на 9 и сложим с четвертой строкой, получим:

Вторую строку сложим с третьей, вторую строку умножим на 2 и сложим с четвертой, получим:

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен трем (r=2). Ранг матрицы ступенчатого вида определяется по числу ненулевых строк. Значит, по теореме Кронекера-Капелли: система уравнений совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение. Число неизвестных n=4, r<n, значит, система имеет бесконечно много решений.n-r=4-2=2 – число свободных переменных. Пусть переменные , , - базисные переменные, x1, x4 – свободные переменные.

Умножим вторую строку на (-1) и восстановим систему уравнений:

Из второго уравнения найдем переменную x2

откуда

Из первого уравнения найдем переменную x3

свободные переменные.

Ответ: свободные переменные.

Вариант № 17

Транспонируем исходную матрицу, определитель которой нужно найти, для этого поменяем местами строки и столбцы с тем же номером. Согласно свойства определителя, величина определителя не поменяется.

С помощью элементарных преобразований строк (умножение строки на ненулевое число, перестановка двух строк и прибавление к одной строке другой строки) обратим в нуль все, кроме первого, элементы первого столбца.

Умножим первую стоку на (-2) и сложим со второй строкой, умножим первую строку на (-2) и сложим с третьей строкой, умножим первую строку на (-3) и сложим с четвертой строкой, получим: