Контрольная работа по "Теория вероятности"

1. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.

Т.к. игральная кость имеет 6 граней, то вероятность появления одного из чисел ровна р=1/6.

Т.к. кубиков 3, то вероятность события А – на каждом кубике выпадет одно число, например «2», это вероятность появления трех независимых событий, вычисляется по теореме умножения вероятностей:

Р(А)=(1/6)*(1/6)*(1/6)=1/216 – Вероятность выпадения одного из чисел, например «2».

Однако в условии задачи сказано, что выпадшее число не конкретное, а одно из шести  возможных («1», «2», «3» … «6»), значит вероятность события В – на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков ( из 6 возможных) можно вычислить по теореме сложения вероятностей:

Р(В)=(1/216)+(1/216)+(1/216)+(1/216)+(1/216)+(1/216)=1/36.

Ответ: Р(В)=1/36.

2. Три стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания каждого из стрелков соответственно равны 0,72, 0,83, 0,89. Найти вероятность того, что в результате одновременного выстрела в мишени будет: а) ровно одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина; в) две пробоины.

Р(А)=0,72 – вероятность того, что первый стрелок попадет в цель.

(А)=1-0,72=0,28 – вероятность того, что первый стрелок не попадет в цель.[pic 1]

Р(В)=0,83 – вероятность того, что второй стрелок попадет в цель.

(В)=1-0,83=0,17 – вероятность того, что второй стрелок не попадет в цель.[pic 2]

Р(С)=0,89 – вероятность того, что третий стрелок попадет в цель.

(С)=1-0,89=0,11 – вероятность того, что третий стрелок не попадет в цель.[pic 3]

Р1=Р(А)*(В)*(С)=0,72*0,17*0,11=0,013464 – вероятность того, что попадет только первый стрелок.[pic 4][pic 5]

Р2=(А)*Р (В)*(С)=0,28*0,83*0,11=0,025564 – вероятность того, что попадет только второй стрелок.[pic 6][pic 7]

Р3=(А)*(В)*Р(С)=0,28*0,17*0,89=0,042364 – вероятность  того, что попадет только третий стрелок.[pic 8][pic 9]

Вероятность того, что попадет только один стрелок ровна:

Р=Р1+Р2+ Р3=0,013464+0,025564+0,042364=0,081392.

б) хотя бы одна пробоина

Вероятность того, что никто не попадет в мишень:

Р5=(А)*(В)* (С)=0,28*0,17*0,11=0,005236[pic 10][pic 11][pic 12]

вероятность того, что в мишень хоть кто-то из стрелков попадет (один, два или все три) равна:

Р=1–0,005236=0,994764.

в) две пробоины

Р6=Р(А)*Р(В)*(С)=0,72*0,83*0,11=0,065736 – вероятность того, что попадет первый стрелок и второй стрелки.[pic 13]

Р7= (А)*Р(В)*Р(С)=0,28*0,83*0,89=0,206836 – вероятность того, что попадет только второй и третий стрелки.[pic 14]

Р7=Р(А)* (В)*Р(С)=0,72*0,17*0,89=  0,108936 – вероятность того, что попадет только третий и первый стрелки.[pic 15]

Вероятность того, что будет две пробоины ровна:

Р=Р6+Р7+Р8=0,065736+0,206836+0,108936= 0,381508.

Ответ: а) Р=0,081392; б) Р=0,994764; в) Р=0,381508.

3. На склад поступает продукция трех фабрик, причем изделия первой фабрики составляют 35 %, второй – 32% и третьей – 33%. В продукции первой фабрики 75% изделий высшего сорта, второй – 69% и третьей – 89%. Найти вероятность того, что среди 400 взятых наудачу со склада изделий, число изделий высшего сорта заключено между 230 и 290.

Для начала воспользуемся формулами Байеса:

Пусть событие А –  взятое со склада изделие оказалось высшего сорта.

Введем 3 гипотезы: Нi – изделие с i-ой фабрики. Тогда:

Р(Н1)=0,35; Р(А|Н1)=0,75

Р(Н2)=0,32; Р(А|Н2)=0,69

Р(Н3)=0,33; Р(А|Н3)=0,89

По формуле полной вероятности находим вероятность события А:

Р(А)=

3

1

| * 0,35*0,75+0,32*0,69+0,33*0,89 0.777.

ii i

P A P A H P H



   

По формуле Лапласа

      x x k m k p

n

        

2 1       400 230 290 p m x x        

1

k np

x

npq



 

,

2

k np