Контрольная работа по "Теория вероятности"

Содержание

Введение        3

Марковские цепи с дискретным временем        4

Задание 1. Марковские цепи с дискретным временем        8

Марковские цепи с непрерывным временем        10

Задание 2. Марковские цепи с непрерывным временем        13

Система массового обслуживания с отказами        15

Задание 3. Система массового обслуживания с отказами        17

Системы массового обслуживания с очередями        21

Задание 4. Системы массового обслуживания с очередями        25

Заключение        31

Список использованных источников:        32

Введение

В данной работе, решив 4 задачи, мы должны изучить два вида марковских цепей: с дискретным временем и непрерывным временем, а также систему массового обслуживания с отказами и очередью. Во время изучения мы рассмотрим их свойства и характеристики.

Марковские цепи с дискретным временем

Пусть физическая система [pic 1] находится в одном из состояний [pic 2] и может переходить из одного состояния в другое случайным образом только в фиксированные изолированные моменты времени [pic 3] . И если на процесс наложено условие Маркова, то такой случайный процесс называется марковским случайным процессом с дискретным временем и конечным числом состояний (дискретными состояниями). Моменты времени еще называют шагами процесса, а сам марковский случайный процесс – марковской цепью.

Без ограничения общности рассмотрим случай трех состояний [pic 4].

Обозначим через [pic 5], [pic 6] вероятности переходов системы из состояния [pic 7] в состояние [pic 8] за один шаг. Такие вероятности образуют матрицу [pic 9] вероятностей переходов за один шаг

[pic 10].                          

Если вероятности [pic 11] не зависят от номера шага, на котором осуществляется переход [pic 12], то такие цепи называются однородными марковскими цепями. В дальнейшем будем рассматривать только однородные марковские цепи.

Элементы матрицы обладают следующими свойствами:

[pic 13],  [pic 14]

[pic 15]    [pic 16]

Однородную марковскую цепь удобно изображать в виде размеченного графа состояний (рис. 1).

[pic 17]

Рис. 1

Обозначим через матрицу-строку [pic 18] распределение вероятностей в системе после [pic 19] шагов, где [pic 20] – вероятность нахождения системы в состоянии [pic 21], [pic 22] Для элементов матрицы [pic 23] при любом [pic 24] выполняется равенство[pic 25] При [pic 26] имеем начальное распределение вероятностей [pic 27].

Для нахождения вероятностей состояний после [pic 28]-го шага справедливо следующее соотношение:

[pic 29].                    

Определение 1.  Состояние [pic 30] называется существенным, если, выйдя из этого состояния, система может в него вернуться за один или несколько шагов.

Состояние [pic 31]называется несущественным, если, выйдя из [pic 32], система не может вернуться в него.

Так, марковская цепь, граф которой приведен на рис. 2, имеет одно несущественное состояние [pic 33].

[pic 34]

Рис. 2

Определение 2.  Марковская цепь называется регулярной, если из любого существенного состояния можно попасть в любое другое существенное состояние за конечное число шагов.