Контрольная работа по "Теория вероятности"
Автор: alyalya999 • Март 1, 2019 • Контрольная работа • 1,975 Слов (8 Страниц) • 408 Просмотры
Дисциплина «Спецматематика»
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
для студентов 2 курса энергетического факультета заочной формы обучения направления «Теплоэнергетика и теплотехника»
В задачах 1-20 решить дифференциальные уравнения.
16. а) [pic 1];
Решение. Заменим [pic 2] и умножим обе части на dx:
[pic 3].
Получили уравнение с разделяющимися переменными, так как оно имеет вид [pic 4]. Разделим переменные, умножив обе части уравнения на разделяющий множитель [pic 5] (при [pic 6], [pic 7]):
[pic 8].
Интегрируя последнее равенство, найдем общее решение:
[pic 9]
[pic 10].
Ответ: [pic 11].
б) [pic 12]
Решение. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения [pic 13]. Характеристическое уравнение [pic 14] имеет корни k1,2 = 1 ± 2i = α ± βi, тогда
[pic 15].
Правая часть данного уравнения имеет вид [pic 16], так как числа [pic 17] не являются корнями характеристического уравнения, тогда частным решением будет [pic 18] [pic 19]. Найдем [pic 20], [pic 21] и подставим в левую часть данного уравнения.
[pic 22];
[pic 23];
[pic 24]
[pic 25];
преобразовав полученное выражение, получим
[pic 26];
[pic 27];
[pic 28].
Отсюда, приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, определим неизвестные А и В:
[pic 29]
Следовательно, частное решение [pic 30], а общее решение неоднородного уравнения:
[pic 31].
Далее, воспользовавшись условием Коши: y(0) = 1 и y′(0) = 0, найдем
его частное решение. Для этого необходимо вычислить [pic 32] [pic 33][pic 34]. Подставив в [pic 35] и [pic 36] начальные значения: x = 0, y = 0 и y′ = 1, получим систему, из которой определим С1 и С2.
[pic 37]
[pic 38]
Следовательно, искомое частное решение данного уравнения будет
таким [pic 39]
[pic 40].
Ответ: [pic 41].
В задачах 21-40 найти вероятности указанных событий, используя формулы повторных независимых испытаний.
36. При эпидемии гриппа 40% населения заражаются вирусом гриппа. В лаборатории числятся 100 сотрудников. Какова вероятность того, что ровно 75 человек заболеют гриппом?
Решение: По условию задачи: n = 100 (велико); p = 40% = 0,4 (мало); k = 75. В данном случае выполнено условие локальной теореме Лапласа.
[pic 42],
где [pic 43], ϕ(x) – чётна, ϕ (–x) = ϕ (x).
Для начала найдём:
[pic 44].
По таблице значений функции ϕ(x) определяем ϕ(7,14) ≈ 0, тогда
[pic 45].
Ответ: вероятность того, что ровно 75 человек заболеют гриппом равна 0.
Задачи 41-60. Участок электрической цепи состоит из элементов, соединенных по указанной схеме. Выход из строя за время Т различных элементов системы – независимые события, имеющие вероятности, приведенные в таблице. Вычислить вероятность отказа от работы системы за указанный промежуток времени.
56. [pic 46]
[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]
...