Контрольная работа по "Теории вероятности"

1.  Электрическая схема состоит их 5 элементов, вероятность безотказной работы которых – независимые события, имеющие вероятности Рi=0,9 каждый. Найти вероятность события  отказа цепи за данный промежуток времени.  [pic 1]

[pic 2]

Решение:

Найдем вероятность противоположного события В- безотказной работы схемы.

Элементы (2), (3) и (4), (5) соединены последовательно, а элементы (2,3) и (4,5) параллельно, т.е. событие А состоящее в том, что элементы работают имеет вид [pic 3]

Вместо исходной системы рассматриваем эквивалентную ей систему элементов (1) и (2,3,4,5), соединенных последовательно.

Событие, состоящее в том, что эти элементы системы работают, имеет вид:  [pic 4].

Вероятность безотказной работы системы равна: [pic 5]

Подставляя заданные надежности элементов, последовательно вычисляем  при .[pic 6]

[pic 7]

Тогда искомая вероятность равна [pic 8]

2. Дискретная случайная величина Х задана законом  распределения:  

Найти величину а, построить график функции распределения данной случайной величины. Вычислить числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание M (X), дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение σ (X ).

Решение:

Согласно условию  [pic 9]

Найдем неизвестную вероятность: [pic 10]

По определению интегральная функция:  [pic 11]

Пусть  [pic 12]  Тогда  [pic 13]   так  как случайная  величина  Х  не  может  принимать  значения  меньшие  0  по условию задачи.

При  [pic 14]можно записать следующее равенство: [pic 15]

При [pic 16], [pic 17] 

При [pic 18], [pic 19] 

При [pic 20],

 [pic 21]

При  [pic 22] пусть  x=5.

Тогда [pic 23] 

Таким образом, интегральная функция:

[pic 24]

График интегральной функции представляет собой разрывную ступенчатую линию. Построим график интегральной функции распределения:

[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Числовые характеристики  дискретной  случайной  величины  Х  вычисляются по следующим формулам:

[pic 44],   [pic 45]

 [pic 46]где [pic 47]

 Тогда математическое ожидание:

[pic 48]

Дисперсию вычислим, используя формулу [pic 49]

[pic 50]

Среднее квадратическое отклонение [pic 51]

1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности распределения f(x):

[pic 52]

Найти:  величину коэффициента а, написать аналитическое выражение и построить график функции распределения, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Найти вероятность попадания данной случайной величины в интервалы (4,6) и (6,12).

Решение:

1. Используя свойство функции плотности вероятности , [pic 53]

получим   c подстановкой от 0 до .[pic 54][pic 55]

Таким образом,   , следовательно,    [pic 56][pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

1. Функция распределения определяется по формуле

[pic 60]

Учитывая свойства ,  сразу можем отметить, что:[pic 61]

При  [pic 62]

При  [pic 63]

   с подстановкой от 0 до . Следовательно, [pic 64][pic 65][pic 66]

Таким образом,

[pic 67]

[pic 68]

3) Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X

[pic 69]

[pic 70]

4) Вероятность того, что X окажется в промежутке , равна[pic 71]

[pic 72]

Вероятность того, что X окажется в промежутке , равна[pic 73]