Контрольная работа по "Теории вероятности"

Задача 1. Тема: «Нормальное распределение».

Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля отклонится от среднего значения не больше, чем на 80 т.

Решение

Имеем: α=785 δ=60

Найдем вероятность того, что в данный день добыча угля отклонится от

среднего значения не больше, чем на 80 т.:

α= 785

β= 865

δ=60

Нас интересует что X окажется в интервале (0; 865)

Р (0 <x <865) = Ф ((865-785) /60)- Ф ((0-785) /60) = Ф (1,3333)- Ф (-13.083) = 0,4082+ 0,5=0,9082

0,9082 (90,82%) вероятность, что в данный день добыча угля отклонится от среднего значения не больше, чем на 80 т.

Задача 2. Тема: «Интервальные оценки».

Для изучения размера среднемесячной заработной платы занятого населения региона производится случайная повторная выборка. Каким должен быть объем этой выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0.997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолютной величине не более чем на 25%, если среднемесячная зарплата в выборке составила 220 у.е. со средним квадратическим отклонением 120 у.е.

Решение

Доверительная вероятность = 0,997     отсюда     Ф (Uкр) =0,997/2=0,4985

по таблице Лапласа Uкр=2,97

Объем выборки при известном значении погрешности можно вычислить так:

n= ((Uкр*среднекв. откл) /погрешность) ^2

или

n= ((2.97*120)/0.25) ^2= (1425.6) ^2=2032335 зарплат по региону.

Задача 3. Тема: «Проверка статистических гипотез»

Доля убыточных предприятий в промышленности в целом по России в 1995 г. составила 26%, а в одной из областей — 27%. В 1995 г. в этой области насчитывалось 7579 промышленных предприятий. На уровне значимости α = 0.05 определите, являются ли различия в удельном весе убыточных промышленных предприятий в России и в этой области случайными или в данной области действует комплекс экономических условий, обусловливающих повышенную долю нерентабельных предприятий?

Решение

Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

  – различия в удельном весе убыточных промышленных предприятий в России и в этой области являются случайными.[pic 1]

 – в данной области действует комплекс экономических условий, обусловливающих повышенную долю нерентабельных предприятий.[pic 2]

По условию задачи:

[pic 3]

[pic 4]

Так как критическая область правосторонняя, критическое значение найдем по таблице Лапласа из равенства:

[pic 5]

По таблице функции Лапласа . [pic 6]

Критическая область является интервалом . Наблюдаемое значение  принадлежит критической области, значит, на данном уровне значимости есть основания отвергать основную гипотезу.[pic 7][pic 8]

Ответ.  Различия в удельном весе убыточных промышленных

предприятий в России и в этой области не являются случайными.

Задача 4. Тема: «Критерий согласия Пирсона».

С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости α = 0,05 выяснить, можно ли считать случайную величину X, заданную в виде сгруппированного статистического ряда, нормально распределенной с параметрами x  и s, рассчитанными по выборке.

[pic 9]

Задача 5. Тема: «Ранговая корреляция».

По заданной таблице рангов найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при α = 0.05.