Контрольная работа по "Теории вероятностей"

ВАРИАНТ 1

Задача № 1. В коллекции из 20 грампластинок имеется 5 пластинок с произведениями Моцарта. Наугад выбирают 4 пластинки. Какова вероятность того, что 2 из них с произведениями Моцарта?

Решение. Эксперимент состоит в выборе четырех пластинок из 20, причем выбор осуществляется без возвращения. В каком порядке выбраны пластинки по условию задачи не важно. Элементарными исходами являются сочетания из 20 элементов по 4. Число всех исходов

= ==4845[pic 1][pic 2][pic 3]

Событию А={две пластинки из пяти с произведениями Моцарта} благоприятствуют исходы, когда две пластинки  выбираются из пяти и, одновременно, остальные 2 пластинки из 15. Число таких исходов определяется равенствами:

= =10[pic 4][pic 5]

= ==105[pic 6][pic 7][pic 8]

 Используя формулу классической вероятности, получаем, что

[pic 9]

Ответ: 0,2167

Задача № 2. Охотники Александр, Виктор, Павел попадают в летящую утку

• вероятностями, соответственно равными 2/3, 3/4 и 1/4. Все одновременно стреляют по пролетающей утке. Какова вероятность, что утка будет подбита?

Решение. 

Запишем вероятности успеха и неуспеха (промаха ) каждого из охотников

p₁ = q₁ = 1 - p₁ = 1 -  = [pic 10][pic 11][pic 12]

p₂ = q₂ = 1 - p₂ = 1 – = [pic 13][pic 14][pic 15]

p₃ = q₃ = 1 - p₃ = 1 - = [pic 16][pic 17][pic 18]

Для того, чтобы утка была подбита, достаточно, чтобы попал хотя бы один из охотников. Обратное событие – не попал ни один.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: [pic 19].

Тогда [pic 20]

Найдем Р(А)= q₁* q₂ * q₃  – ни один из охотников не попадет в утку

Р(А)==[pic 21][pic 22]

Тогда вероятность, что хотя бы один из спортсменов попадет в сборную:

[pic 23]=1 - = [pic 24][pic 25]

Ответ: [pic 26]

Задача № 3. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,9, третий – 0,8. Вычислить вероятность того, что хотя бы два экзамена будут сданы.

Решение. 

Рассмотрим следующие события:

Событие B - студент сдаст по крайней мере два экзамена (либо два любых экзамена из трех либо все три).

проработала заданное число часов

событие A1 – сдаст 1-ый экзамен | событие  – студент не сдаст первый экзамен[pic 27]

p1=0.9                                               q1=1 – p1= 0.1

событие A2 – сдаст 2-ой экзамен |событие   – студент не сдаст второй экзамен[pic 28]

p2=0.9                                               q2=1 – p2= 0.1

событие A3 – сдаст 3-ий экзамен |событие   – студент не сдаст третий экзамен[pic 29]

p3=0.8                                               q3=1 – p3= 0.2

Суммируем вероятности всех возможных вариантов:

B=  A2A3   + A1 A3 + A1 A2 + A1 A2 A3[pic 30][pic 31][pic 32]

P(B)=0.1*0.9*0.8+0.9*0.1*0.8+0.9*0.9*0.2+0.9*0.9*0.8=0.954

Ответ: 0,954.

Задача № 4. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат делает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 1000 деталей, со второго – 2000 деталей, а с третьего – 2500 деталей.

Решение. 

Рассмотрим следующие события и гипотезы:

событие A – {на сборку попадает бракованная деталь}