Контрольная работа по "Математике"

Вариант № 8

1. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных:

а) y = ln·(log2x) = (ln(log2x))´·( log2x)´ = · = [pic 1][pic 2][pic 3]

б) y =  =  =  =  = [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

в) y = (x+1)·x = (x+1)´·x + (x+1)·(x) = x + x + 1 = 2x + 1[pic 9]

г) y = ex · cos(3x) = (ex)´ · cos(3x) + ex · (cos(3x))´·(3x)´ = ex · cos(3x) + ex · (-sin(3x))·3 = ex · cos(3x) - 3· ex · sin(3x)

2. Найти производные третьего порядка данных функций, используя правила вычисления производных:

a) y = (·cos (x)[pic 10]

y´ = ((·cos (x))´ = (·cos (x) + (·(cos (x))´ = 6x2 · cos (x) – sin (x)· ( [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

y´´ = (6x2 · cos (x) – sin (x) ·  )´ =  (6x2 · cos (x))´ - (sin (x) ·  )´ = (6x2)´ ·cos (x) + 6x2 · (cos (x))´ - ((sin (x))´· + sin (x)·´) = 12x· cos (x) - 6x2 · sin (x) - cos (x) · - sin (x)·6x2 = 12x· cos (x) - 12x2 · sin (x) - cos (x) ·[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

y´´´ = [12x· cos (x) - 12x2 · sin (x) - cos (x) ·]´ = (12x· cos (x)) - (12x2 · sin (x))´ - (cos (x) · = (12x)´· cos (x) + (12x) · (cos (x))´ - (12x2)´ · sin (x) - (12x2) · (sin (x))´- (cos (x))´ ·- cos (x) · = 12· cos (x) – 12x·sin (x) – 24x·sin (x) – 12x2·cos (x) – (-sin (x)· + cos 9x)·6x2) = [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

= 12· cos (x) - 36x·sin (x) – 12x2·cos (x) + sin (x)· – 6x2·cos (x) = [pic 27]

= 12· cos (x) - 36x·sin (x) – 18x2·cos (x) + sin (x)· [pic 28]

б) y = (x2 + 3)· ln(x-3)

y´ = ((x2 + 3)· ln(x-3))´ = ((x2 + 3))´· ln(x-3) + (x2 + 3)· (ln(x-3))´ ·(x-3)´ = 2x· ln(x-3) + (x2 + 3)···1 = 2x· ln(x-3) + [pic 29][pic 30]

y´´ = (2x· ln(x-3) + )´ = (2x· ln(x-3))´ + ()´ = (2x)´ · ln(x-3) + 2x· (ln(x-3))´·(x-3)´ +  = 2 · ln(x-3) +  +   = [pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

=  2 · ln(x-3) +  +  = 2 · ln(x-3) +  + [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

y´´´ = (2 · ln(x-3) +  + )´ = (2 · ln(x-3))´·(x-3)´ + ()´ + ()´ = [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

=  +  +  =  +  +  =  -  +   =  -  +  =  -  + [pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

3. Найти производные   данных функций:[pic 59]

Z = [pic 60]

(x)´· + x·()´ =  + [pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

4. Найти неопределённые интегралы:

a) [pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

б) [pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

в) [pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

5. Вычислить определённые интегралы:

a)  =   =  -  =  - 1[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

[pic 82]

б)  = x·ex  = 2·e2 – e2[pic 83][pic 84]

[pic 85]

6. Найти общее решение или общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными.

а) dy = x·(dx[pic 86][pic 87]

 = [pic 88][pic 89]

 = [pic 90][pic 91]

[pic 92]

arctg y  = C - [pic 93]

y = tg (C - )[pic 94]

б) (x+1) = (y-1)dx[pic 95]

 = [pic 96][pic 97]

 = [pic 98][pic 99]

[pic 100]

Аналогично интегрируем левую часть.

lg (y-1) = lg (х+1) + С

7. Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его.