Контрольная работа по "Математике"

1) В ящике 8 белых и 10 черных шаров. Найти вероятность того, что наудачу отобранных пяти шаров окажется не менее четырех черных.

Решение.

Количество всех исходов равно

Благоприятный исход - выбор 4 белых шаров и 1 черный и выбор 5 белых шаров и 0 черный.

4 шара из 10 можно выбрать способами. А выбрать 1 белый шар из 8 можно способами.

5 шара из 10 можно выбрать способами. А выбрать 0 белых шара из 8 можно способами.

Количество благоприятных исходов равно:

Следовательно искомая вероятность равна:

2) На склад поступает продукция трех фабрик, причем первой – 20%, второй – 45 %, третьей – 35%. Известно, что нестандартных изделий у первой фабрики – 3%, у второй – 2%, у третьей – 1%. Наудачу взятое изделие оказалось стандартным. С какой фабрики вероятнее всего оно поступило?

Решение.

Введем полную группу независимых гипотез:

изделие поступило с фабрики № 1

изделие поступило с фабрики № 2

изделие поступило с фабрики № 3

Вероятности гипотез даны по условию:

Введем событие А=(изделие оказалось стандартным). По условию даны противоположные вероятности:

Вероятности события А найдем по формуле полной вероятности:

Теперь найдем апостериорные вероятности того, что изделие поступило с i-ой фабрики, если оно оказалось стандартным, по формуле Байеса.

Таким образом, вероятнее всего изделие поступило со второй фабрики.

3) В мастерской 5 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеду – 0,8. Найти вероятность того, что перегреется к обеду не менее двух.

Решение.

Имеем схему Бернулли с параметрами p=0,8 (вероятность перегрева к обеду), n=5 (число испытаний, то есть число моторов), k (число «успехов»). Будем использовать формулу Бернулли:

Вероятность того, что откажут не менее двух элементов из пяти (то есть