Контрольная работа по "Математике"

Для титульного листа

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 2        3

Задача 3.        4

Задача 4        6

Задача 5        8

Задача 6        9

Задача 7        10

Задача 8        11

Задача 9        11

Задача 10        12

Задача 11        13

Задача 12        13

Задача 13        14

Задача 14        14

Задача 15        15

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ        17

Задача 2. Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой x + y – 2 = 0. Построить графики прямой и кривой.[pic 1]

Решение:

Т.к. уравнение кривой второго порядка не содержит члены вида xy, то достаточно воспользоваться выделением полного квадрата:

 [pic 2]

 [pic 3]

Переходим к канонической системе координат (СК):

 [pic 4]

Получаем:

 [pic 5]

Данная кривая является эллипсом с большой и малой полуосями, равными  и 2, соответственно. Центр в исходной СК находится в точке (3,0).[pic 6]

Определяем координаты точек пересечения данной кривой с линией, для чего выражаем одну из переменных линии и подставляем в уравнение кривой:

 [pic 7]

  [pic 8]

 [pic 9]

Точки пересечения: . График кривой и прямой представлены на рисунке 1.[pic 10]

[pic 11]

Рисунок 1 – График эллипса и прямой

Задача 3. Линия задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат . Требуется: 1) перевести уравнение кривой в полярную систему координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 2) построить линию по точкам, начиная от φ = 0 до φ = 2π, придавая φ значения через промежуток π/8.[pic 12]

Решение:

Переходим в полярную СК:

 [pic 13]

 [pic 14]

 [pic 15]

Вычисляем значения и сводим в таблицу 1.

Таблица 1 – Значения функции

График линии представлен на рисунке 2.

[pic 16]

Рисунок 2 – График кривой  в полярной СК[pic 17]

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды A1(4;1;10), A2(4;10;3), A3(0;8;1), A4(9;6;3). Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) уравнение прямой A1A2; 3) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 4) уравнение плоскости A1A2A3; 5) угол между ребрами A1A4 и гранью A1A2A3; 6) площадь грани A1A2A3; 7) объем пирамиды. Сделать чертеж.

Решение:

1) Используем формулу расстояния между 2 точками:

 [pic 18]

2) Уравнение прямой составим по точкам A1 и A2:

 [pic 19]

 [pic 20]

3) Чтобы найти угол, используем скалярное произведение:

 [pic 21]

 [pic 22]

 [pic 23]

 [pic 24]

4) Уравнение плоскости составим из условия компланарности векторов , где M(x,y,z) – произвольная точка плоскости.[pic 25]

 [pic 26]

 [pic 27]

Т.о. уравнение плоскости:

 [pic 28]

5) угол между ребром и гранью найдем по формуле:

 [pic 29]

Координаты вектора нормали равны коэффициентам при переменных в уравнении плоскости, т.о.: