Контрольная работа по "Математике"

№5. Методом изоклин построить интегральную кривую уравнения [pic 1], проходящую через точку [pic 2].

Решение. Для получения уравнения изоклин положим [pic 3], тогда [pic 4] или [pic 5]. Изоклинами являются параболы с вершинами на оси OY и ветвями, направленными вверх или вниз (в зависимости от значений [pic 6]). При [pic 7] получим немного другую изоклину [pic 8] – это прямая (ось OX). Эта прямая делит плоскость на две части, в каждой из которых производная имеет один и тот же знак, Т.е. в верхней части плоскости знак будет положительный и ветви изоклин будут направлены вверх. В нижней части – знак будет отрицательный и ветви изоклин будут направлены вниз. При этом интегральные кривые, пересекая прямую [pic 9], переходят из области убывания функции в область возрастания, и наоборот, а значит на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых.

Возьмем несколько изоклин с некоторыми значениями [pic 10]. Учитывая геометрический смысл производной эти значения будут соответственно давать тангенс угла наклона касательных к интегральным кривым в соответствующих точках изоклин:

[pic 11] ⇒ [pic 12];

[pic 13] ⇒ [pic 14];

[pic 15] ⇒ [pic 16];

Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения с этими тремя изоклинами образуют с осью OX углы наклона в [pic 17], [pic 18] и [pic 19], соответственно. Т.е. можно нарисовать изоклины и на них «черточками» обозначить части касательных. Т.к. в задании требуется построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку, то можно заранее выяснить какие изоклины нам пригодятся, а какие – нет. Точка [pic 20] дает значения [pic 21] и [pic 22]. Учитывая уравнение [pic 23], получим, что для изоклины, проходящей через заданную точку [pic 24] ⇒ [pic 25] ⇒ [pic 26]. Тогда требуется построить дополнительные изоклины: