Контрольная работа по "Математике"

§ 64. Сходимость ряда Фурье в точке

1. Теорема о локализации. Сходимость ряда Фурье в точке ж0

сводится к исследованию сходимости последовательности частичных

сумм Sn(xо), определенных формулой Дирихле (5).

Теорема 1 (принцип локализации). Пусть функция f(x) 2тт-периодическая

и абсолютно интегрируемая на отрезке [—7Г, 7г]. Тогда

сходимость ряда Фурье функции f(x) в точке X0 € R и сумма ряда

Фурье функции f(x) в точке X0 (если этот ряд сходится) зависят

только от поведения функции f(x) в произвольно малом интервале

(х0 — 6,x0 + S), 6 > 0.

О Используя формулы (5) и (2) из § 63, запишем частичную сумму

ряда Фурье в следующем виде:

Sn(xо) = - f ^ X° + ^ + {^°——sin (n+^- )udu. (1) 7т J 2 sm — Ч 2 / О 2

Так как функция f ( x о + и) + f ( x о — и) абсолютно интегрируема

на отрезке [—я , 7г], а для 6 G (0, я) и всех и G [фя] выполнено неравенство

f(xо + и) + f(xо - и)

2 sin ^ ^ —Ц г \f(xo + u) + f {xо - и)\,

2 *2 sмiиn ￡2

то по признаку сравнения функция

= f ix О + и) + f ix 0 - и)

582 Гл. X IV . Ряды Фурье

абсолютно интегрируема на отрезке [Д, 7г]. В силу леммы Римана

,. 1 } f(xo + u) + Iim — —-------- -— fф( x--o-----и1) si.n i(n + -1 j\ и du, = 0„.

n —s-oo 7Г J 2 s i n - 4 2 / <5 2

Тогда из формулы (1) получаем, что

<5

lim \sn(Xo) - I № ° + ≪) + / ( * ° - ≪ ) sin L + D u d u ] = 0 . (2 )

n-s-oo L 7г Jо 2sin-y2 V 2/ J

Из формулы (2) следует, что существование и величина предела

пl—imtoo Sn(xо) зависит только от существования и величины предела

,i.i m —1 f —f(x<-->- -+-- -и-)-- -+-- fф(x<-->- ---- -и-)1 s.m ( те + -1 \\ u d,u, n-i-oo 7Г J 2s i n - 4 2/

0 2

т. e. от значений функции / на интервале (жо — ё,Хо + 6). •

Замечание. Для функции /(ж) = i формула (2) принимает следующий

вид: . ,

п + ^ ) и

l i m — f —u du = -, 0 < S < 7Г. (3)

n—≫oo 7Г J 2 sin — 2

2. Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет

в точке Хо условию Гёльдера, если существуют односторонние

конечные пределы f ( x о Ѓ} 0) и такие числа 6 > 0, а € (0,1] и Со > 0,

что для всех и € (0,Д) выполнены неравенства

|/(ж0 + и) - f ( x 0 + 0)| ^ с0иа, \f(x0 - и) - f ( x 0 - 0)| ^ с0иа. (4)

Число а называют показателем Гёльдера.

Заметим, что функция /(ж), удовлетворяющая условию Гёльдера

(4), может иметь в точке Xq разрыв первого рода, если f ( x о + 0) ф

ф f ( x о - 0 ) .

Можно расширить определение односторонних производных

(см. § 14), полагая

/ ; ы = Д т о / (^о+≪) - / (^о+0) !

Г_ { х о ) = Ит / ( ^ ° - ≪ ) - / ( ^ ° - 0 ) ,

w—>+О

Лемма 1. Если в точке Xq функция /(ж) имеет конечные односторонние

производные /_Цжо) и f_(xо), то функция /(ж) удовлетворяет

в точке Хо условию Гёльдера с показателем а = 1.

§ 64■ Сходимость ряда Фурье в точке 583

О Функции

= f (x о + и) ~ f (x≫ + °) = f (x о ~ и) ~ /(^о ~ °)