Контрольная работа по "Математике"
Автор: Dimansofr • Декабрь 13, 2023 • Контрольная работа • 1,766 Слов (8 Страниц) • 97 Просмотры
Контрольная работа №1
1.09 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.
[pic 1].
Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:
[pic 2]
Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.
[pic 3]
Тогда решение системы находим по формулам:
x = [pic 4] ; y = [pic 5]
2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
[pic 6] = [ умножим вторую строчку на 3 и сложим с первой] = [pic 7]
Т.к. ранг расширенной системы совпадает с рангом системы и равен 2, то система имеет решение.
Тогда получим систему:
[pic 8]
Тогда из системы получим решение:
[pic 9]
Проверка:
[pic 10]
Ответ: х= [pic 11],у= [pic 12]
1.19Решить систему линейных уравнений тремя методами:
А) по формулам Крамера;
Б) методом Гаусса;
В) с помощью обратной матрицы.
[pic 13]
- Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:
[pic 14]
Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Тогда решение системы находим по формулам:
х1 = [pic 18] = [pic 19]; х2= [pic 20] = [pic 21]; х3 = [pic 22]
2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
[pic 23] = [ умножим вторую строчку на -2 и сложим с первой, умножим первую строку на 2 и сложим с третьей] = [pic 24] = [умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей ] = [pic 25].
Т.к. ранг расширенной системы совпадает с рангом системы и равен 3, то система имеет решение.
Тогда получим систему:
[pic 26]
3) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = [pic 27], X = [pic 28], B = [pic 29]. Тогда X = A-1B. Найдем матрицу A-1.
Вычислим обратную матрицу [pic 30].
[pic 31] | [pic 32] | [pic 33] |
Тогда A-1 = [pic 34]
Получим
X = A-1B =[pic 35][pic 36]= [pic 37].
Ответ: х1 = 0; х2= 1; х3 = [pic 38]
1.29 При каких А и В система имеет бесчисленное множество решений? Найдите эти решения.
[pic 39]
Определитель матрицы должен быть равен нулю:
[pic 40]
Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
[pic 41] = [ умножим первую строчку на -12, вторую на 13 и сложим их, умножим первую строку на -7, третью на 13 и сложим их] = [pic 42] = [умножим вторую строку на 9, третью на 5 и сложим их] = [pic 43].
Тогда , если [pic 44], то система будет иметь бесконечное множество решений.
[pic 45] .Значит, при А=7, В=7 система имеет бесчисленное множество решений .
[pic 46]
Тогда получим систему: [pic 47]. Пусть [pic 48], тогда [pic 49], [pic 50]
Ответ: [pic 51],[pic 52],[pic 53],А=7, В=7
1.39 Даны вектора [pic 54] и [pic 55]. Найти [pic 56] и длину [pic 57].
Векторное произведение векторов [pic 58] , заданных в ортонормированном базисе [pic 59] , выражается формулой:
[pic 60]
[pic 61]
Скалярное произведение выражается формулой:
[pic 62]
[pic 63]
Длина вектора [pic 64] равна [pic 65]
[pic 66]
Ответ: [pic 67] или [pic 68], [pic 69],[pic 70]
1.49 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(3,1,1), К(4,0,0), L(1,1,2) в виде Ax+By+Cz+D=0.
[pic 71] или [pic 72]
...