Контрольная работа по "Математике"
Автор: xasanov12 • Декабрь 4, 2023 • Контрольная работа • 6,303 Слов (26 Страниц) • 102 Просмотры
Найдём теперь второй дифференциал от сложной функции [pic 1], [pic 2]. Дифференциал [pic 3] независимой переменной по-прежнему считается константой, но дифференциал промежуточной переменной [pic 4] является функцией независимой переменной [pic 5] и выносить его за знак дифференциала нельзя.
Используя инвариантность первого дифференциала, найдём
[pic 6]
Итак,
[pic 7]. (4)
Поскольку [pic 8] то из (4) видно, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. Не обладают этим свойством и все последующие дифференциалы.
Замечание. Разделим обе части (4) на [pic 9], получим
[pic 10]. (5)
Формула (5) совпадает с формулой (1)§7, то есть
[pic 11].
ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§1. Возрастание функции в точке. Теорема Ферма
Пусть функция [pic 12] определена в некоторой окрестности точки [pic 13]. Говорят, что функция возрастает в точке [pic 14], если существует некоторая окрестность точки [pic 15] [pic 16], в которой функция возрастает, то есть
[pic 17] [pic 18]
Аналогично определяется убывание функции в точке.
Теорема 1. Если функция [pic 19] имеет производную в точке [pic 20] и [pic 21], то функция возрастает в точке [pic 22].
Доказательство.[pic 23][pic 24].
Возьмём [pic 25], тогда
[pic 26]. (1)
Неравенство (1) означает, что [pic 27], если [pic 28], и [pic 29] если [pic 30], то есть функция [pic 31] возрастает в точке [pic 32]. Теорема доказана.
Очевидно, если [pic 33] то функция в точке [pic 34] убывает. Доказательство аналогично.
Замечание 1. Условие [pic 35] – достаточное, для возрастания (убывания) функции в точке [pic 36]. Но это условие не является необходимым. Например, функция [pic 37] возрастает в точке [pic 38], но [pic 39]
Определение. Функция [pic 40] достигает в точке [pic 41] локального максимума, если существует [pic 42] такая, что
[pic 43] [pic 44]. (2)
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47][pic 48][pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]
[pic 61]
Аналогично, если
[pic 62], (3)
то в точке [pic 63] функция достигает локального минимума. Локальные максимум и минимум называются локальными экстремумами.
На рисунке [pic 64] – локальные минимумы, [pic 65] – локальный максимум.
Теорема 2 (Ферма). Если функция [pic 66] дифференцируема в точке [pic 67] и достигает в этой точке локального экстремума, то [pic 68].
Доказательство. От противного. Если [pic 69], то согласно теореме 1 функция в точке [pic 70] возастает, то есть не достигает локального экстремума. Если р[pic 71], то убывает и также не достигает экстремума. Получили противоречие. Теорема доказана.
Геометрически теорема Ферма означает, что в точке ([pic 72], f ([pic 73])) график функции [pic 74] имеет горизонтальную касательную.
...