Контрольная работа по "Математике"

СОДЕРЖАНИЕ

Задание №1        3

Задание №2        6

Задание №3        6

Задание №4        8

Задание №1

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1. длину стороны АВ
2. уравнение сторон АВ ВС и их угловые коэффициенты
3. угол В в радианах с точностью до двух знаков
4. уравнение высоты СВ и ее длину
5. уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы с высотой CD
6. уравнение прямой. Проходящей через точку К параллельно сторона АВ
7. координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD

Даны координаты точек А(-7;4), В(5;-5), C(3;9)

[pic 1]

1. длину стороны АВ

расстояние в между точками А(x1; y1) и В(x2; y2) определяется по формуле

[pic 2]

1. уравнение сторон АВ ВС и их угловые коэффициенты

уравнение прямой проходящей через две точки А(-7;4), В(5;-5) имеет вид

[pic 3] или [pic 4]получим

[pic 5] или [pic 6] угловой коэффициент [pic 7]

уравнение прямой проходящей через две точки В(5;-5), C(3;9)имеет вид

[pic 8] или [pic 9]получим

[pic 10] или [pic 11] угловой коэффициент [pic 12]

1. угол В в радианах с точностью до двух знаков

тангенс угла ϕ между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны k1 k2, вычисляются по формуле

[pic 13] из этого найдем угол [pic 14]

1. уравнение высоты СD и ее длину

угловые коэффициенты перпендикулярных прямых с угловыми коэффициентами k1 k2 связаны соотношением [pic 15] из этого угловой коэффициент высоты СD будет равен [pic 16], теперь находим уравнение: уравнение прямой проходящей через данную точку в заданном направлении. Имеет вид [pic 17] или [pic 18] [pic 19]

для нахождение длины высоты CD найдем координаты точки D

[pic 20] решая данную систему находим координаты точки D (-3;1)

длина высоты: [pic 21]

1. уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы с высотой CD

координаты середины отрезка В(5;-5), C(3;9)

[pic 22], [pic 23]                        [pic 24], [pic 25]

имеем координаты точки Е(4;2), найдем уравнение медианы АЕ

уравнение прямой проходящей через две точки А(-7;4), Е(4;2) имеет вид

[pic 26] или [pic 27]получим [pic 28] или [pic 29]

угловой коэффициент [pic 30]

координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD

[pic 31] решая данную систему находим координаты точки К (-1,5;3)

1. уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно сторона АВ

У параллельных прямых угловые коэффициенты совпадают[pic 32]

Угловой коэффициент прямой построенной на стороне АВ равен [pic 33]

Координаты точки К (-1,5;3)

уравнение прямой проходящей через данную точку в заданном направлении. Имеет вид [pic 34] или [pic 35] [pic 36]

1. координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD

координаты точек А(-7;4) D (-3;1)

координаты середины отрезка AM где середина отрезка является точка D, выразим из этих уравнений координаты точки М [pic 37], [pic 38]   [pic 39], [pic 40] имеем М(1;-2)

Задание №2

Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от данной точки [pic 41]и данной прямой y=3. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую

Решение

[pic 42]

N(x,3) ; M(x, y); F(1; -1)

MN=MF

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49] - парабола

Задание №3

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

1. записать векторы [pic 50]в системе орт и найти модули этих векторов;
2. найти угол между векторами [pic 51];
3. найти проекцию вектора [pic 52] на вектор [pic 53];
4. найти объем пирамиды ABCD

Исходные координаты А(1; -4; 0), В(5; 0; -2), С(3; 7; -10),  D(1; -2; 1)

Решение

1. записать векторы [pic 54]в системе орт и найти модули этих векторов.

Произвольный вектор может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой [pic 55] , где [pic 56] - проекции вектора а на соответствующие координатные оси. Если даны точки [pic 57] и [pic 58], то проекции вектора [pic 59] на координатные оси находятся по формулам