Контрольная работа по "Математике"

Вариант № 2

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

а) уравнения границ: [pic 1]

Решение. Площадь фигуры вычисляется по формуле

[pic 2]

Область D ограничена слева функцией  – левой полуокружностью радиуса 6 с центром в точке  а справа – функцией  – правой полуокружностью радиуса 6 с центром в точке . Найдем точки пересечения этих функций:[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Пусть внешнее интегрирование проводится по переменной y, а внутреннее – по x. Расставим пределы интегрирования:

[pic 10]

[pic 11]

Изобразим область D на чертеже (Рис. 1).

[pic 12]

Рис. 1.

Таким образом,

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Ответ: [pic 19]

Задание 2. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

[pic 20]

[pic 21]

Решение. Объем тела вычисляется по формуле

[pic 22]

Тело V ограничено сверху верхней частью конуса  снизу – плоскостью  боковая поверхность – круговые цилиндры:[pic 23][pic 24]

1)

[pic 25]

 цилиндр радиуса  с центром в точке [pic 26][pic 27][pic 28]

2)

[pic 29]

 цилиндр радиуса  с центром в точке [pic 30][pic 31][pic 32]

Для вычисления интеграла удобно перейти к цилиндрическим координатам [pic 33]

Запишем уравнения границ области в цилиндрических координатах:

1. [pic 34]
2. [pic 35]
3. [pic 36]

Пределы изменения координат ϕ и r определяем по виду проекции области интегрирования V на плоскость Oxy (Рис. 2).

[pic 37]

Рис. 2.

Пределы изменения угла  от  до .[pic 38][pic 39][pic 40]

При любом фиксированном угле ϕ, полярный радиус r изменяется от  до  (уравнения окружностей). При каждом значении (ϕ,r) в области D значения координаты z для области V меняются от z = 0 до .[pic 41][pic 42][pic 43]

Таким образом,

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Ответ: [pic 48]

Задание 3. Найти угол между градиентами скалярных полей  и  в точке .[pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 52]

Решение. Градиент скалярного поля  в данной точке  – это вектор, определяемый равенством:[pic 53][pic 54]

[pic 55]

Находим частные производные функции [pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Таким образом,

[pic 61]

Аналогично, находим градиент поля  в точке :[pic 62][pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

Угол между векторами  и  находится по формуле[pic 68][pic 69]