Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа №2

З а д а ч а 1. Заданы три точки: [pic 1]

 Найти: а) общее уравнение прямой АВ и ее угловой коэффициент;

б) общие уравнения прямых, проходящих через точку С параллельно и перпендикулярно прямой АВ;

в) точки пересечения прямых.

Сделать чертеж.

Решение:

Строим чертеж (рис. 1).

[pic 2]

Рис.1

а) Уравнение прямой AB (см. рис. 1, прямая 1) находим по формуле: 

.[pic 3]

Подставим в формулу координаты точек А и В:

.[pic 4]

В итоге получено каноническое уравнение прямой 1:

.
умножаем его на 9 и получаем общее уравнение прямой 1:
[pic 5][pic 6]

Чтобы найти угловой коэффициент прямой 1, перейдем от общего уравнения к уравнению с угловым коэффициентом: y = kx+ b:

[pic 7]

Следовательно, угловой коэффициент.[pic 8]

б) Прямые 1 и 2 параллельны, значит,.  Уравнение прямой 2
находим по формуле
После преобразований получаем общее уравнение прямой 2:
[pic 9][pic 10][pic 11]

Прямые 1 и 3 перпендикулярны, значит,. Находим общее уравнение прямой 3:
[pic 12][pic 13]

в) С (4;2) – точка пересечения прямых 2 и 3 задана.
Точку пересечения прямых 1 и 3  найдем из системы уравнений:
[pic 14][pic 15]

[pic 16]

Ответ: а) [pic 17]

б)  [pic 18]

в) С (4;2), [pic 19]

З а д а ч а 2. Построить линии, заданные уравнениями второго порядка.

а) [pic 20]

б) [pic 21]

в) [pic 22]

Решение:

а) уравнение окружности радиусом 5 с центром в точке
С (7; -4) (рис.2).[pic 23]

[pic 24]

Рис. 2

б) уравнение эллипса с центром в точке С (1; −1) и полуосями а = 2; b = 5 (рис. 3).[pic 25]

[pic 26]

Рис.3

в)  уравнение гиперболы с центром в точке С (-5; 1) и полуосями а = 3 и b = 2 (рис. 4)[pic 27]

Строим центр гиперболы С (-5; 1), откладываем полуоси а = 3 и b = 2,
строим сопровождающий гиперболу прямоугольник. Проводим диагонали прямоугольника – они являются асимптотами гиперболы.