Контрольная работа по "Математике"
Автор: ov_rising • Январь 22, 2023 • Контрольная работа • 798 Слов (4 Страниц) • 149 Просмотры
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Задача 1. Найти пределы функций.
9.) а) [pic 1]. б) [pic 2]
в) [pic 3] г) [pic 4]
Решение.
а) [pic 5]
При подстановке x=3 в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. Имеется неопределенность вида [pic 6].
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, а знаменатель разложим на множители.
[pic 7]
б) [pic 8]
Имеется неопределенность вида [pic 9].
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, а знаменатель разложим на множители.
[pic 10]
в) [pic 11]
Имеется неопределенность вида [pic 12].
Преобразуем выражение и применим первый замечательный предел: [pic 13].
[pic 14]
г) [pic 15]
Имеется неопределенность вида [pic 16].
Преобразуем выражение и применим второй замечательный предел: [pic 17].
[pic 18]
Задача 2. Найти производную [pic 19]:
9.) а) [pic 20] б) [pic 21]
в) [pic 22] г) [pic 23] [pic 24]
Решение. а) [pic 25]
Производную функции находим по правилу дифференцирования произведения:
[pic 26] где [pic 27] [pic 28] Кроме того, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: [pic 29].
[pic 30]
б) [pic 31]
Логарифмируем функцию по основанию е: [pic 32].
Дифференцируем обе части равенства по х, получаем
[pic 33]
[pic 34]
Отсюда,
[pic 35]
в) [pic 36]
Вычислим производную обеих частей равенства, учитывая, что [pic 37]:
[pic 38]
Выразим [pic 39]:
[pic 40]
г) [pic 41][pic 42]
Воспользуемся правилом определения производной функции, заданной параметрически: [pic 43].
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
Задача 3. Вычислить неопределенные интегралы:
9) а) [pic 47]; б) [pic 48]; в) [pic 49];
г) [pic 50]; д) [pic 51]; е) [pic 52].
Решение.
а) [pic 53]
Применим метод подведения выражений под знак дифференциала..
[pic 54]= [pic 55]
[pic 56]
б) [pic 57]
Интеграл относится к интегралам «группы четырех». Выделим в знаменателе подынтегральной дроби полный квадрат.
[pic 58]
[pic 59].
[pic 60]
Применим подстановку [pic 61]
[pic 62]
в) [pic 63]
Применим формулу интегрирования по частям
...