Контрольная работа по "Математике"

Министерство просвещения Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Российский государственный профессионально-педагогический университет»

Институт психолого-педагогического образования

Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

 «СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ»

Вариант № 8

Выполнил

студент группы                                                        

Проверил

Екатеринбург 2021

Задача 1

Дано комплексное число . Требуется:[pic 1]

• записать число   в алгебраической и тригонометрической формах;[pic 2]
• найти все корни уравнения и изобразить их на комплексной плоскости.[pic 3]

[pic 4]

Найдём модуль и аргумент числа

[pic 5]

Получили число  в алгебраической форме:[pic 6]

[pic 7]

Действительная часть: , мнимая часть: .[pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Тригонометрическая форма числа:[pic 12]

[pic 13]

Найдём все корни уравнения :[pic 14]

[pic 15]

Пользуемся формулой:

[pic 16]

У нас:[pic 17]

Модуль числа:[pic 18][pic 19]

Аргумент φ числа :[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Получаем 3 значения корнядля уравнения :[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

На комплексной плоскости они расположены на окружности радиуса с центром в точке (0,0) и делят окружность на 3 равные части:[pic 27]

[pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

[pic 38][pic 39]

Задача 2

Представить заданную функцию , где , в виде ; проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке .[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

[pic 44]

Показательная функция определяется так:[pic 45]

[pic 46]

Для показателя :[pic 47]

[pic 48]

Значит для   действительная часть равна:, мнимая: . Тогда:[pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 52]

Значит, , где:[pic 53]

[pic 54]

Проверим, является ли функция аналитической. Необходимое и достаточное условие этого – выполнение условий Коши-Римана:

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

Видим, что условия Коши-Римана выполняются для всех точек, значит функция  является всюду аналитической.[pic 68]

Производную функции  вычислим по формуле:[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

В точке  :[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

Задача 3

Используя теоремы о вычетах, вычислить интеграл по контуру , обходимому против часовой стрелки.[pic 76]

[pic 77]

Подынтегральная функция

[pic 78]

имеет 3 особые точки: и два простых полюса:   .Видим, что только точка   попадает внутрь контура  (окружность радиуса 1  с центром в точке (0, 0)).[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]