Контрольная работа по "Математике"
Автор: IrinaDP • Ноябрь 29, 2022 • Контрольная работа • 794 Слов (4 Страниц) • 115 Просмотры
82. Найти неопределённые интегралы.
а) [pic 1], б) [pic 2], в) [pic 3], г) [pic 4].
Решение:
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
92. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
[pic 26].
Решение:
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
102. Найти общие решения дифференциальных уравнений.
а) [pic 33], б) [pic 34].
Решение:
а) [pic 35],
[pic 36]
С помощью замены
[pic 37]
получаем
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
Интегрируем
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
Возвращаемся к переменной у:
[pic 48]
[pic 49]
Получили общее решение дифференциального уравнения.
б) [pic 50].
Продифференцируем обе части уравнения:
[pic 51]
[pic 52]
Решим дифференциальное уравнение[pic 53] Вначале понизим его степень:
[pic 54]
Получили линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение будем искать в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения [pic 55].
Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения [pic 56]
[pic 57]
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид
[pic 58]
Теперь находим частное решение [pic 59] исходного неоднородного уравнения. Так как правая часть [pic 60] и0 не корень характеристического уравнения, то [pic 61].
Имеем,
[pic 62]
Таким образом, [pic 63]
Получаем:
[pic 64]
Сделаем проверку полученного решения:
[pic 65][pic 66][pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
Таким образом,
[pic 72] где [pic 73]
При [pic 74] получим[pic 75] − также решение уравнения, входящее в общий интеграл.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
[pic 76] где [pic 77]
112. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.
[pic 78].
Решение:
Задано линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение будем искать в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения [pic 79].
Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения [pic 80]
[pic 81]
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид
[pic 82]
Теперь находим частное решение [pic 83] исходного неоднородного уравнения.
Так как правая часть исходного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида, частное решение ищем в виде
[pic 84]
где [pic 85] частное решение уравнения [pic 86]
[pic 87] частное решение уравнения [pic 88]
Найдем[pic 89]
Так как [pic 90] и [pic 91] – не корень характеристического уравнения, то
[pic 92]
Имеем,
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
Таким образом,
...