Контрольная работа по "Математике"

Тема 1. Комплексные числа, комплексные функции

Цель работы: Освоить действия над комплексными числами и комплексными функциями.

1. Задание на самостоятельную работу

В процессе выполнения самостоятельной работы студент должен:

  - изучить понятие комплексного числа;

- изучить алгебраическую форму комплексного числа, сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел;

- изучить тригонометрическую, показательную формы комплексного числа;

- изучить возведение комплексных чисел в степень, формула Муавра; извлечение корней из комплексных чисел, квадратное уравнение с комплексными корнями.

1. Краткие теоретические сведения

Алгебраическая форма комплексного числа.

Напомним, что множество действительных чисел обозначатся R. К действительным числам относятся здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. Их можно отобразить на числовой оси, при этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Если хотите, комплексное число – это двумерное число.

Комплексным числом называется выражение вида:

                                                     (1.1)[pic 1]

где a = Rez – действительная часть комплексного числа;

b = Imz - мнимая часть.

Под символом j понимается . [pic 2]

Из определения следует, что  и вообще[pic 3]

 .[pic 4]

Выражение (1.1) – алгебраическая форма комплексного числа.

Два комплексных числа равны между собой, если т.е. если равны соответственно их действительные и мнимые части.[pic 5][pic 6]

Комплексное число  называется сопряженным к числу , если , т.е.  отличается от  только знаком мнимой части.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Множество  комплексных чисел обозначается буквой С. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:

Rez –действительная ось, Imz – мнимая ось

Чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части.

Умножение комплексных чисел выполняется по правилам алгебры (имея ввиду, что j = ).[pic 12]

Деление комплексных чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Любое комплексное число z (кроме нуля)  можно записать в тригонометрической форме:

.                                       (1.2)[pic 13]

где r – это модуль комплексного числа, а ϕ – аргумент комплексного числа.

Модулем комплексного числа [pic 14] называется расстояние от начала координат до соответствующей точки M комплексной плоскости.

Модуль комплексного числа находится по формуле:

[pic 15]

Аргументом комплексного числа z называется угол, образованный радиусом-вектором точки М с положительным направлением действительной оси.

Формула для нахождения аргумента:

[pic 16]. 

Любое комплексное число z (кроме нуля)  можно записать в показательной форме:

[pic 17],

где [pic 18] – это модуль комплексного числа, а [pic 19] – аргумент комплексного числа.

Чтобы представить комплексное число в показательной форме, необходимо выполнить чертеж, найти модуль и аргумент, и записать число в виде [pic 20].