Контрольная работа по "Математике"

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тульский государственный университет»

Интернет-институт ТулГУ

Контрольная работа №4

по дисциплине математика

Выполнил:                                                         Вавилина Ульяна Валентиновна

номер группы  ИБ261001

профиль подготовки бакалавр

Проверил:                                                          Христич Дмитрий Викторович

преподаватель

Тула - 2022 год

1. Вычислим , если область D, ограничена линиями D: x=10, y=, y=[pic 1][pic 2][pic 3]

Вычислим заданный интеграл:

[pic 4]

[pic 5]

1. Вычислить , если область интегрирования ограничена поверхностями V: x=0, y=1/5, z=0, z=-5, y=x/5[pic 6]

Согласно заданию, область интегрирования представляет собой треугольную призму, которая ограничена снизу и сверху плоскостями z=-5 и z=0 соответственно, а с боков плоскостями x=0, y=1/5 (или 5y-1=0), y=x/5 (или x-5y=0, или x=5y). Проекция области интегрирования на горизонтальную плоскость показана на рисунке заливкой серым цветом.

Вычислим заданный интеграл:

        [pic 7]

[pic 8]

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями                 [pic 9]

Решение:

[pic 10]

x/2-1)(1-x/2)[pic 11][pic 12]

[pic 13]

x/2-1/2)(1-x)[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями V: [pic 20]

Решение:

Выражение для интеграла по r

[pic 21]

Фактически это выражение с кубом синуса

[pic 22]

Разлагаем куб синуса

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Проверка в декартовой системе координат

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

1. Вычислить тройной интеграл , область [pic 29]

V: .[pic 30]

Решение:

В трехмерном евклидовом пространстве система выражений определяет множество точек, расположенных между плоскостями y=-x, y=x, z=0, z=2 и конусом второго порядка =0. Указанный конус пересекается с плоскостью z=2 по окружности, центр которой находится в точке (0;0;2), а радиус равен 1. [pic 31]

Тогда

[pic 32]

[pic 33]               

= [pic 34][pic 35]

[pic 36]

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f (x,y) = 4x-2xy-5y по контуру треугольника с вершинами O (0,0), A (1,5;4,5), B (4,5;1,5).

Решение:

, где L – контур заданного треугольника.[pic 37]

На отрезке OB 0[pic 38]

[pic 39]

На отрезке BA[pic 40]

[pic 41]

На отрезке AO 0[pic 42]

[pic 43]

Значит,

[pic 44]

[pic 45]

7. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где S – часть плоскости 7x+9y+5z-4=0, лежащая в первом октанте. [pic 46]

Решение:

Запишем уравнение заданной плоскости «в отрезках»:

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

Полученный результат означает, что в первом октанте расположена часть заданной плоскости, которая представляет собой треугольник с вершинами в точках (4/7,0,0), (0,4/9,0), (0,0,4/5). Проекция этого треугольника на плоскость Oxy представляет собой треугольник с вершинами в точках (4/7,0,0), (0,4/9,0), (0,0,4/5).

Выведем уравнение прямой, проходящей через точки (4/7,0,0), (0,4/9,0):

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Из уравнения заданной поверхности получим, что

[pic 57]

[pic 58]

Значит,

[pic 59]

8.  Найти косинус угла между градиентами скалярных полей u= в точке М0(-8;6;-5).[pic 60]

Решение:

Имеем

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

9. Найти поток векторного поля a→ = 5·(x2 - y2)·i→ + 6·(y2 - z2)·j→ + 9·(z2 - x2)·k→ через замкнутую поверхность S : x^2 + y^2 =49, z = 4, z = 8 в направлении внешней нормали.