Контрольная работа по "Математике"

1.Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения

1.1

[pic 1]

Решение:

Для получения уравнения изоклин примем [pic 2], тогда

[pic 3]

Изоклинами являются гиперболы.

Изоклины симметричны относительно прямой [pic 4], т.е. интегральные кривые симметричны оси [pic 5].

При [pic 6] изоклина – прямая линия [pic 7]

Вдоль этой изоклины интегральная кривая имеет нулевой наклон, т.е. прямая [pic 8] также является решением исходного уравнения.

[pic 9]

Т.о. наклон интегральных кривых определяется знаком [pic 10] и из уравнения  [pic 11] наклон интегральных кривых положительный во II и IV четвертях, отрицательный –  в I и III.

Для определения вогнутости найдем вторую производную из исходного уравнения:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

2.Решить уравнение, допускающее понижения порядка

2.1

[pic 15]

Решение:

Т.к. уравнение не содержит самой неизвестной функции, понизим порядок уравнения заменой

[pic 16]

Подставим

[pic 17]

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

[pic 18]

Проинтегрируем обе части

[pic 19]

Произведем обратную замену

[pic 20]

Проинтегрируем

[pic 21]

Полученное общее решение:

[pic 22]

3.Решить систему уравнений