Контрольная работа по "Математике"

Задание №2

Исследовать ряд на сходимость

∑_(n=1)^∞▒(n^2+3)/(n^3 (2+cos⁡nπ ) )

Решение:

Обозначим a_n=n^2/(n^3 (2+cos⁡nπ ) )

Для всех n верно следующее выражение:

a_n=n^2/(n^3 (2+cos⁡nπ ) )≥n^2/(n^3×1)=1/n

Так как ряд ∑_(n=1)^∞▒1/n является расходящимся по признаку сравнения: (ряд вида ∑_(n=1)^∞▒1/n^a сходится только при условии, что a > 1, и расходится в противном случае, при a≤1) ряд ∑_(n=1)^∞▒1/n расходится, так как нарушается условие сходимости.

Поэтому и исходный ряд ∑_(n=1)^∞▒(n^2+3)/(n^3 (2+cos⁡nπ ) ) также расходится, так как его сумма заведомо больше суммы ряда ∑_(n=1)^∞▒1/n .

Ответ: Ряд ∑_(n=1)^∞▒(n^2+3)/(n^3 (2+cos⁡nπ ) ) расходится.

Задание №5

Исследовать ряд на сходимость:

∑_(n=2)^∞▒((n+1)/(2n-3))^(n^2 )

Решение:

Воспользуемся признаком Коши:

Если lim┬(n→∞)⁡√(n&a_n ) <1,то ряд ∑_(n=1)^∞▒a_n -сходится.

Если lim┬(n→∞)⁡√(n&a_n ) >1,то ряд ∑_(n=1)^∞▒a_n -расходится.

lim┬(n→∞)⁡√(n&a_n )=lim┬(n→∞)⁡〖((n+1)/(2n-3))^n 〗=lim┬(n→∞)⁡(1/2+5/(2×(2n-3) ))=0<1

Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся.

Ответ: ∑_(n=2)^∞▒((n+1)/(2n-3))^(n^2 ) сходится

Задание№10

Найти область сходимости ряда:

∑_(n=1)^∞▒〖((√n))/(n^2+1) (x-2)^n 〗

Решение:

Приведем этот ряд к степенному:

∑_(n=1)^∞▒〖((√n))/(n^2+1) (x-2)^n 〗=∑_(n=1)^∞▒〖a_n (x-2)^n 〗,где a_n=((√n))/(n^2+1).

Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанную на применении признака Коши:

R=lim┬(n→∞)⁡〖1/√(n&|a_n | )=〗 lim┬(n→∞) √(n&|√n/(n^2+1)| )=1

Таким образом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следующим