Контрольная работа по "Математике"
Автор: NERO999 • Май 15, 2022 • Контрольная работа • 942 Слов (4 Страниц) • 177 Просмотры
Вариант 15.
Задание 1.
Вычислить пределы функций
а) [pic 1]; б) [pic 2]; в) [pic 3].
Решение.
а)[pic 4]
[pic 5] [pic 6]
[pic 7]
[pic 8]; [pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
в) [pic 12]
Ответ.
а) [pic 13]; б) [pic 14]; в) [pic 15].
Задание 2.
Найти производные функций
а) [pic 16], б) [pic 17],в) [pic 18],г) [pic 19]
Решение.
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
Ответ.
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
Задание 3.
Исследовать функцию [pic 28] методами дифференциального исчисления и построить ее график.
Решение.
- Область определения
Функция [pic 29] определена на всей числовой оси, кроме точки [pic 30], в которой знаменатель обращается в 0: [pic 31]
- Четность, нечетность. Периодичность
[pic 32] - функция не является четной или нечетной. Функция непериодическая.
- Находим точки пересечения с осями координат:
а) с осью [pic 33]: [pic 34]
[pic 35][pic 36]
б) с осью [pic 37]: [pic 38]
График функции пересекает оси в точках (0,3), [pic 39], [pic 40]
- Точки разрыва.
Точка разрыва: [pic 41].
[pic 42]
[pic 43]
Так как пределы слева и справа бесконечные, то точка [pic 44] - точка разрыва II рода, следовательно, [pic 45] - вертикальная асимптота.
- Промежутки монотонности. Экстремумы.
[pic 46]
+ ─ ─ +[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]
[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
2 4 6[pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]
[pic 59] - функция возрастает; [pic 60] - функция убывает;
[pic 61] - функция убывает;[pic 62]- функция возрастает.
В точке [pic 63] - max.[pic 64]
В точке [pic 65] - min. [pic 66]
- Выпуклость, вогнутость
[pic 67]
[pic 68], [pic 69], поэтому функция имеет выпуклость на этом интервале
[pic 70], [pic 71], поэтому функция имеет вогнутость на этом интервале
Следовательно, график функции не имеет точку перегиба.
- Асимптоты.
[pic 72]следовательно, горизонтальных асимптот нет.
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]- наклонная асимптота.
- График.
[pic 76]
Задание 4.
Найти неопределенные интегралы:
а) способом подстановки (методом замены переменного):[pic 77]
б) применяя метод интегрирования по частям:[pic 78]
Решение.
а) [pic 79]
[pic 80]
Ответ. а) [pic 81], [pic 82]
Задание 5.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой [pic 83]и прямой [pic 84].
Решение.
Найдем точки пересечения линий
[pic 85]
[pic 86]
Площадь вычислим с помощью интеграла
[pic 87] кв.ед.
Ответ.
[pic 88] кв.ед.
Задание 6.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения[pic 89]
Решение.
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
[pic 90]
[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]- общее решение дифференциального уравнения.
Ответ. [pic 95]- общий интеграл дифференциального уравнения.
Задание 7.
Найти частное решение (частный интеграл) уравнения
...