Контрольная работа по "Математике"

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Тульский государственный университет»

Интернет-институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Математика»

Семестр 1

Вариант 5

Выполнил: студент гр. ИБ560211

Алатырева Карина Алексеевна

Проверил: д.ф.-м.н., проф.

Христич Дмитрий Викторович

Тула 2021

Оглавление

Задача 25        3

Задача 35        5

Задача 45        8

Задача 55        10

Задача 75        12

Задача 95        14

Задача 135        17

Задача 155        20

Задача 165        22

Задача 175        24

Задача 195        25

Задача 205        27

Задача 245        29

Задача 275        31

Задача 285        33

Задача 25

Даны координаты точек А, В, С: А(-2; -3; -8), В(3; -2; -8), С(1; 2; -4).

Требуется:

1. Записать  и  в системе орт и найти модули этих векторов;[pic 1][pic 2]
2. Найти угол между векторами  и ;[pic 3][pic 4]
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .[pic 5]

Решение:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Угол между векторами  и  можно найти по формуле:[pic 10][pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Уравнение плоскости, проходящей через точку С (1; 2; 4) перпендикулярно вектору  (5; 1; 0) имеет вид:[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Искомое уравнение плоскости:

[pic 18]

Ответ:

1. ; .[pic 19][pic 20]

;  .[pic 21][pic 22]

1. Угол между векторами  и  составляет .[pic 23][pic 24][pic 25]
2. Уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору  имеет вид .[pic 26][pic 27]

Задача 35

Даны векторы , , , :  (4; 1; 4),  (-2; -1; 1),  (3; 1; 5),  (-3; -2; 1). Показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора  в этом базисе.[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Решение:

Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.

Вычислим определитель матрицы:

[pic 40]

[pic 41]

Определитель отличен от нуля, следовательно векторы образуют базис. Поскольку они образуют базис пространства, любой вектор, в том числе и вектор  можно разложить по этому базису. т.е. любой вектор  можно представить следующим образом:[pic 42][pic 43]

;[pic 44]

Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты, таким образом получаем следующую систему уравнений:

[pic 45]

Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.

Запишем систему в виде:

[pic 46]

BT = (-3; -2; 1)

Система совместна, когда главный определитель не равен нулю.

Найдём определитель:

∆ = 4 ∙ ((-1) ∙ 5 – 1 ∙ 1) – 1 ∙ ((-2) ∙ 5 –1 ∙ 3) + 4 ∙ ((-2) ∙ 1 – (-1) ∙ 3) = -7.

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В:

.[pic 47]

Найдём определитель полученной матрицы:

∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-3) ∙ ((-1) ∙ 5 – 1 ∙ 1) – (-2) ∙ ((-2) ∙ 5 –1 ∙ 3) + 1 ∙ ((-2) ∙ 1 – (-1) ∙ 3) = -7;

.[pic 48]

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В:

.[pic 49]

Найдём определитель полученной матрицы:

∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 4 ∙ ((-2) ∙ 5-1 ∙ 1)-1 ∙ ((-3) ∙ 5-1 ∙ 3) + 4 ∙ ((-3) ∙ 1-(-2) ∙ 3) = -14;

.[pic 50]

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В:

.[pic 51]

Найдём определитель полученной матрицы:

∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 4 ∙ ((-1) ∙ 1 – 1 ∙ (-2)) – 1 ∙ ((-2) ∙ 1 – 1 ∙ (-3)) + 4 ∙ ((-2) ∙ (-2) – (-1) ∙ (-3)) = 7

.[pic 52]