Контрольная работа по "Математике"

1. Найти точки разрыва функций. Изобразить график функции в окрестностях точек разрыва.

        а) [pic 1]

Решение:

Функция существует там, где [pic 2], т.е. при [pic 3]

Находим лево- и правосторонний пределы в точках [pic 4]:

[pic 5]

Находим лево- и правосторонний пределы в точках [pic 6]:

[pic 7]

Точки [pic 8] и [pic 9]  являются точками разрыва функции II рода, так как пределы бесконечны.

[pic 10]

б) [pic 11] 

Решение:

Возможные точки разрыва функции – на границах интервалов, на которых задана функция: х = 0, х = 3.

Находим лево- и правосторонний пределы в точке х = 0:

[pic 12]

х = 0 не является точкой разрыва функции, так как пределы существуют, конечны и равны.

Находим лево- и правосторонний пределы в точке х = 3:

[pic 13]

х = 3  является точкой разрыва функции II рода, так как один из пределов бесконечен.

Строим график функции.

[pic 14]

2. Написать разложение вектора [pic 15] по векторам [pic 16]: 

[pic 17]

Решение:

Представим вектор [pic 18] в виде [pic 19]. Подставляем соответствующие координаты:

[pic 20];

[pic 21];

[pic 22];

[pic 23]

Решим эту систему по методу Гаусса:

[pic 24]

Таким образом, [pic 25]

Тогда искомое разложение примет вид: [pic 26]

3. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

[pic 27]

Решение:

Выделим полные квадраты:

[pic 28]

Это уравнение окружности с центром в точке А(–3; 2) и радиусом [pic 29].

Делаем чертеж.

[pic 30]

4. Через прямую [pic 31] провести плоскость, параллельную прямой [pic 32].

Решение:

Направляющие векторы заданных прямых: [pic 33].

Нормальный вектор искомой плоскости будет равен: