Контрольная работа по «Математике»

Контрольная работа по дисциплине «Математика» за 2 семестр

Вариант 1

Теория вероятностей

1. Внутрь квадрата наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри окружности, которая вписана в квадрат.

Решение:[pic 1][pic 2]

Пусть сторона квадрата а. Тогда его площадь [pic 3]

Так как диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата, в который эта окружность вписана, то диаметр вписанной окружности равен  , а радиус равен . Площадь вписанной окружности равна:[pic 4][pic 5]

[pic 6]

Геометрическая вероятность события (точка окажется внутри окружности, вписанной в квадрат):

[pic 7]

Ответ: .[pic 8]

2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение:

Количество вариантов равно числу перестановок из пяти элементов:

[pic 9]

Ответ: 120

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

Решение:

Количество способов равно числу размещений трех элементов из десяти:

[pic 10]

Ответ: 720.

4. Сколько отрезков соединяют каждую вершину выпуклого семиугольника с остальными вершинами?

Решение:

Количество способов равно числу сочетаний 2 элементов из 7:

[pic 11]

Ответ: 21

5. В урне находятся 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика.  Найти вероятность того, что выбранный наугад шарик будет не белым.

Решение:

Событие А – выбранный наугад шарик является не белым.

Всего шаров в урне n=45–2=43, событию А благоприятствуют m=43–17=26.

Вероятность события А: [pic 12]

Ответ: [pic 13]

6. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что на выпавших гранях нечетные значения.

Решение:

Событие А – на грани первого кубика нечетное количество очков:

[pic 14]

Событие B – на грани второго кубика нечетное количество очков:

[pic 15]

Искомое событие  – на выпавших гранях нечетные значения (осуществились оба события).События A и B независимы, поэтому вероятность события С:[pic 16]

[pic 17]

Ответ: 0,25

7. Среди 6 приборов имеется два неисправных. Приборы проверяются по очереди до выявления первого неисправного. Найти вероятность того, что эксперимент закончится на третьем приборе.

Решение:

Событие А – первый прибор исправен; событие В – второй прибор исправен; событие С – третий прибор неисправен.

Искомое событие  – эксперимент закончится на третьем приборе. События А, В, С зависимые. Вероятность события Е:[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Ответ: [pic 24]

8. В урне 2 белых и 2 черных шара. Извлекают по очереди два шара, причем после первого извлечения шар возвращается в урну. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Событие А – первый шар белый, [pic 25]

Событие В – второй шар белый, [pic 26]

Искомое событие  – оба шара белые (осуществились оба события). События А и В независимы (количественный состав шаров в урне не меняется после каждого извлечения), поэтому вероятность события С:[pic 27]

[pic 28]

Ответ: [pic 29]

9. В урне 6 белых шаров и 8 черных. Из урны извлекают шары до появления белого шара (без возвращения). Найти вероятность того, что будет проведено всего два опыта.

Решение:

Всего в урне  шаров[pic 30]

Событие А – в первом опыте указанное событие не появилось:

[pic 31]

Событие В – во втором опыте указанное событие появилось:

[pic 32]

Искомое событие  – всего проведено два опыта (осуществились два события).События А и В зависимы, поэтому вероятность события С:[pic 33]

[pic 34]

Ответ: [pic 35]