Контрольная работа по "Математике"

Вариант 6

6. Исследовать сходимость числового ряда:

[pic 1]

Решение:

[pic 2]

Применим интегральный признак Коши:

Введем функцию . Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале .[pic 3][pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Несобственный интеграл  сходится, следовательно, ряд  по интегральному признаку Коши также сходится.[pic 7][pic 8]

16. Найти область сходимости степенного ряда:

[pic 9]

Решение:

Найдем интервал сходимости степенного ряда. Для этого воспользуемся признаком Даламбера:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Решим теперь неравенство:

[pic 14]

Исследуем теперь поведение ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках  и .[pic 15][pic 16]

Если , то получим знакочередующийся ряд:[pic 17]

[pic 18]

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

а) [pic 19]

б) [pic 20]

Так как оба условия признака Лейбница выполняются, то ряд  сходится. [pic 21]

Определим тип сходимости. Для этого исследуем ряд на абсолютную сходимость.

[pic 22]

Подберем подходящий для сравнения эталонный ряд. В качестве эталонного ряда рассмотрим расходящийся ряд . Обозначим .[pic 23][pic 24]

Используем предельный признак сравнения:

[pic 25]

Предел конечен и отличен от нуля, условие предельного признака сравнения выполнено. Эталонный ряд  расходится, значит, исходный ряд по предельному признаку сравнения тоже расходится.[pic 26]

Следовательно, ряд  сходится условно.[pic 27]

Если , то получим числовой ряд:[pic 28]

[pic 29]

Таким образом, интервалом сходимости степенного ряда  является интервал .[pic 30][pic 31]

26. Из 33 карточек с буквами русского алфавита наудачу выбираются пять. Какова вероятность того, что из них можно составить слово «буква»?

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности:

[pic 32]

где  – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ,  – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.[pic 33][pic 34][pic 35]

Пусть событие  – из выбранных карточек можно составить слово «буква».[pic 36]

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 карточек из 33, т. е.  равно – числу размещений из 33 элементов по 5, т.е.[pic 37]

[pic 38]

Благоприятствует появлению слова «буква» лишь один исход, т.е

[pic 39]

Получаем вероятность:

[pic 40]

36. Брошены три игральные кости. Найти вероятность следующих событий:

а) на каждой из выпавших граней появится пять очков;

б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.

Решение:

Применим формулу классической вероятности:

[pic 41]

где  – число всех исходов,  – число благоприятных исходов, при которых наступает событие .[pic 42][pic 43][pic 44]

Т.к. подбрасываются 3 игральных кости, то  равновозможных элементарных исходов.[pic 45]