Контрольная работа по "Математике"

Задача 1. Представить в алгебраической форме.

sin⁡(π⁄4+2i)

sin⁡(π⁄4+2i)=sin⁡(π⁄4) cos⁡(2i)+cos⁡(π⁄(4)) sin⁡(2i)

sin⁡(π⁄4) cos⁡(2i)+cos⁡(π⁄(4)) sin⁡(2i)= 1/√2 (e^(-2)+e^2)/2+ 1/√2 (e^(-2)-e^2)/2i=

=(1/√2 (e^(-2)+e^2)/2)+i*(1/√2 (e^2-e^(-2))/2)

Ответ: sin⁡(π⁄4+2i)= (1/√2 (e^(-2)+e^2)/2)+i*(1/√2 (e^2-e^(-2))/2)

Задача 2. Вычертить область, заданную неравенствами.

|z-1|≤1,|z+1|>2

Задача 3. Восстановить аналитическую в окрестности точки Z0 функцию f(x) по известной действительной части u(x, y) или мнимой u(x, y) и значению.

u = x2 – y2 + x

f(0) = 0

f^' (z)=∂u/∂x-i ∂u/∂y

f^' (z)=f^' (x+iy)=2x+1+i*2y=1+2x

f^' (z)=∫(1+2z)dz=z+z^2+C

f(0)=0+0^2+C=0 →C=0

f(z)=z+ z^2

Ответ: f(z)=z+ z^2

Задача 4. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.

∫_AB z ̅^2 dz;AB:{y=x^2;z_A=0,z_B=1+i}

f(z)= z ̅^2=〖(x-iy)〗^2=x^2-y^2+ i(-2xy)

du/dx=2x; dv/dy=-2x;du/dy= -2y; dv/dx= -2y; ⟹ du/dx ≠ dv/dy; du/dy ≠ dv/dx

z(t) =x(t)+iy(t); x(t)=t; y(t) = t2; zA = z(0); zB = z(1)

(_AB^∫)f(z)dz= ∫_0^1▒〖f[z(t)] z^' (t)dt= ∫_0^1▒〖(t-〖it〗^2 )^2 (1+2it)dt〗〗 =

= ∫_0^1▒(t^2-〖2it〗^3-t^4 )(1+2it)dt= ∫_0^1▒〖(t^2+〖3t〗^4-〖2t〗^5 )dt= 〗 t^3/3+〖3t〗^5/5-i t^6/3 |_0^1=14/15-i 1/3

Ответ: (_AB^∫)f(z)dz= 14/15-i 1/3

Задача 5. Для данной функции найти изолированные точки и определить их тип.

e^(1⁄z)/(sin(1⁄z))

t=1/z ∶f(t)=e^t/sin⁡t

sin⁡t=0 ⟹t= πk; k ϵ z

f(t)=