Контрольная работа по "Математике"

1. Вычислить определить двумя способами: а) разложив по элементам 4-ой строки; б) предварительно получив нули во 2-ом столбце;

[pic 1]

Решение.

а) Для вычисления определителя разложением по строке воспользуемся формулой:

,[pic 2]

где   - алгебраическое дополнение, которое находим по формуле[pic 3]

[pic 4]

В нашем случае при разложении по элементам 4-ой строки, формула будет выглядеть так:

[pic 5]

Сначала найдем алгебраические дополнения:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Находим определитель

 [pic 10]

Ответ: 670

б) Методом элементарных преобразований над матрицей получим нули во 2-ом столбце и найдем определитель разложением по 2-му столбцу.

[pic 11]

Находим определитель разложением по 2-му столбцу:

[pic 12]

Ответ: 670

1. Найдите квадрат матрицы А, если .[pic 13]

Решение:

Квадрат матрицы можно представить в виде произведения

A2 = AxA

Используем правило умножения матриц:

[pic 14]

Ответ: квадрат матрицы [pic 15]

1. Даны вершины пирамиды ABCD: A(4,-4,0); B(-5,3,2); C(8,0,1); D(2,2,3). Найти объем этой пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды, построенной на векторах, находим по формуле

, где x,y,z координаты вектора[pic 16]

Находим координаты векторов AB, AC, AD

AB = (-5-4, 3-(-4), 2-0) = (-9,7,2)

AC = (8-4, 0-(-4), 1-0) = (4,4,1)

AD = (2-4, 2-(-4), 3-0) = (-2,6,3)

[pic 17]

Ответ: Объем пирамиды равен [pic 18]

1. Даны вектора:  Исследовать эти вектора на линейную зависимость, если они линейно независимы, то записать разложение вектора  в базисе векторов [pic 19][pic 20][pic 21]

Решение:

Векторы являются линейно независимыми, если их смешанное произведение не равно нулю.

[pic 22]

Ответ: смешанное произведение не равно нулю, тогда векторы являются линейно независимыми.

Разложим вектор  в базисе векторов [pic 23][pic 24]

[pic 25]

Получим систему линейных уравнений:

[pic 26]

Решим СЛАУ методом Крамера. Для начала вычислим определитель основной матрицы

[pic 27]

Теперь поочередно заменяем каждый столбец матрицы на вектор результата [pic 28]

        [pic 29][pic 30]

                [pic 31][pic 32]

                [pic 33][pic 34]

Ответ: Разложение вектора  по базису имеет вид [pic 35][pic 36]

Координаты вектора  в базисе  будут (3,1,1).[pic 37][pic 38]

1. Применяя метод Гаусса, решить систему линейных алгебраический уравнений (СЛАУ):

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду

[pic 43]

[pic 44]

Базисный минор расположен на столбцах с номерами 1, 2, 3, поэтому базисными неизвестными будут x1, x2, x3, свободное неизвестное x4.

Полученной матрице соответствует система