Контрольная работа по «Математике»

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Математика»

вариант 8

Выполнил:

студент группы БЭЭ12ДУ

Проверила:

2018

Задача 1. Даны матрицы A, B, C и число q. Найти матрицу D = AB + qC,

q = 2, , , .[pic 1][pic 2][pic 3]

Решение.

Найдём матрицу D = AB + qC, т. е. В нашем случае матрицу D = A*B – 2*C.

Сначала (в соответствии с определением произведения матриц) находим A*B.

 =[pic 4]

=  = [pic 5][pic 6]

Затем находим 2C:

 = [pic 7][pic 8]

Теперь можно найти D:

[pic 9]

Задача 2. Дана система линейных алгебраических уравнений:

[pic 10]

а) найти решение этой системы методом Крамера;

б) найти решение этой системы методом Гаусса;

Решение.

Методом Крамера.

A * X = B – матричная запись системы уравнений, где

; ; .[pic 11][pic 12][pic 13]

Вычисляем определитель основной матрицы системы :

– методом треугольников:

 = [pic 14]

=  (-5)·(-3)·(-3) + (-4)·5·6 + 6·(-8)·2 - 6·(-3)·6 - (-5)·5·2 - (-4)·(-8)·(-3) = -45 - 120 - 96 + 108 + 50 + 96 = -7

Так как , detA = -7 ≠ 0, то для решения системы уравнений можно применить метод Крамера. Для этого вначале вычисляем три вспомогательных определителя:

 = 3·(-3)·(-3) + (-4)·5·(-5) + 6·7·2 - 6·(-3)·(-5) - 3·5·2 - (-4)·7·(-3) = 27 + 100 + 84 - 90 - 30 - 84 = 7[pic 15]

 = (-5)·7·(-3) + 3·5·6 + 6·(-8)·(-5) - 6·7·6 - (-5)·5·(-5) - 3·(-8)·(-3) = 105 + 90 + 240 - 252 - 125 - 72 = -14[pic 16]

 =  (-5)·(-3)·(-5) + (-4)·7·6 + 3·(-8)·2 - 3·(-3)·6 - (-5)·7·2 - (-4)·(-8)·(-5) = -75 - 168 - 48 + 54 + 70 + 160 = -7[pic 17]

Теперь вычисляем неизвестные:

; ; .[pic 18][pic 19][pic 20]

Ответ: X1 = -1; X2 = 2; X3 = 1.

Методом Гаусса.

В процессе прямого хода метода Гаусса с помощью алгебраических преобразований, получим систему уравнений, равносильную исходной, основная матрица которой является верхней треугольной матрицей.

Перепишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

[pic 21]

Умножим 1-ю строку на (8). Умножим 2-ю строку на (-5). Добавим 2-ю строку к 1-й:

[pic 22]

Умножим 2-ю строку на (6). Умножим 3-ю строку на (8). Добавим 3-ю строку к 2-й:

[pic 23]

Умножим 1-ю строку на (2). Умножим 2-ю строку на (-17). Добавим 2-ю строку к 1-й:

[pic 24]

Теперь исходную систему можно представить в виде новой системы, которая эквивалентна исходной и основная матрица которой является верхней треугольной матрицей:

x3 = -56/(-56)
x2 = [2 - (6x3)]/(-2)
x1 = [-5 - (2x2 – 3x3)]/6

Обратный ход метода Гаусса.

Теперь решаем полученную систему:

Из 1-й строки выражаем x3 – [pic 25]

Из 2-й строки выражаем x2 – [pic 26]

Из 3-й строки выражаем x1 – [pic 27]

Задача 3. Известны координаты A(4; -3), B(7;3), C(1;10) в прямоугольной системе координат 0xy трёх точек A, B, C, являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник ABC в этой прямоугольной  системе координат и найти:

1) координаты векторов ,  и их длины;[pic 28][pic 29]

2) скалярное произведение векторов ,  и угол φ между векторами , ;[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

3) векторное произведение векторов ,  и площадь треугольника ABC;[pic 34][pic 35]

4) каноническое уравнение стороны AB;

5) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AB;

6) уравнение высоты CH.

Решение.

Изобразим точки A(4; -3), B(7;3), C(1;10) и треугольник  ABC в прямоугольной системе координат  0xy:

[pic 36][pic 37]

3.1 Найдем координаты векторов  , .[pic 38][pic 39]