Контрольная работа по "Математике"

1. В группе 15 студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу отобрано 5 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 2 отличников.

Решение:

В группе 15 студентов

6 – отличников

9 – не отличников

Способов отобрать 5 студентов среди 15: [pic 1]

Способов отобрать 2 отличника среди 5 отобранных студентов: [pic 2]

Тогда вероятность того, что среди отобранных студентов 2 отличника равна: [pic 3]

2. Вероятность одного попадания в мишень при одном залпе из двух орудий равна 0,36. Найти вероятность поражения при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

Решение:

Пусть р – вероятность поражения цели первым орудием. Тогда вероятность, что при залпе двух орудий будет только одно попадание в цель, равна [pic 4] (либо первый попадет, а второй – нет, либо наоборот, вероятности при этом складываются), что по условию равно 0,36. Получаем уравнение:

[pic 5]

Вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий равна 0,733.

3. В баскетболе в зоне около корзины выделяются три типа различных позиций расположения игроков. Игрок Х оказывается в каждой из этих позиций с вероятностями 0,5; 0,3; 0,2. Вероятности попадания мячом в корзину с соответствующей позиции равны 0,4; 0,1; 0,3. а) Найти вероятность того, что игрок Х, находясь в зоне около корзины, сделает успешный бросок. б) Игрок Х сделал успешный бросок, находясь в зоне около корзины. Найти вероятность того, что игрок находился в позиции первого типа.

Решение:

Введём три гипотезы:

[pic 6] - игрок находится в позиции первого типа, [pic 7];

[pic 8] - игрок находится в позиции второго типа, [pic 9];

[pic 10] - игрок находится в позиции третьего типа, [pic 11].

 Условные вероятности:

[pic 12]

Событие А – игрок сделал успешный бросок.

По формуле полной вероятности найдём вероятность того, игрок Х, находясь в зоне около корзины, сделает успешный бросок:

[pic 13] 

Вероятность того, что игрок находился в позиции первого типа, найдём по формуле Байеса:

[pic 14]

4. В рыбном хозяйстве форель составляет 70 %. Найти вероятность того, что из 10 выловленных рыб:

а) окажутся три форели;

б) окажется наивероятнейшее число форелей;

в) окажутся хотя бы две форели.

Решение:

а) окажутся три форели:

Используем формулу Бернулли [pic 15]

[pic 16]

б) окажется наивероятнейшее число форелей:

найдем наивероятнейшее число форелей:

[pic 17]

получаем вероятность, что из 10 выловленных рыб окажется 7 форелей:

[pic 18]

в) окажутся хотя бы две форели:

Хотя бы 2 – это не менее 2х

[pic 19]