Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

.[pic 1]

Найти ранг матрицы .[pic 2]

Решение

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Выписываем матрицу и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:

[pic 6]

Так как ранг матрицы равен 3.

Ответ: ранг матрицы С равен 3.

2. Методом обратной матрицы решить систему:

[pic 7]

Решение

Решение системы можно представить в матричном виде:

[pic 8]

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

[pic 9]

Вычислим алгебраические дополнения:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Ответ:  .[pic 17]

3. Установить, имеет ли однородная система

[pic 18]

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

Решение

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:

[pic 19]

Так как ранг матрицы равен 2, что меньше 4 – число неизвестных, то система нетривиально совместна. Значит, однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение.

Так как ранг матрицы равен 2, тогда размерность пространства решений:

[pic 20]

и фундаментальная система решений состоит из двух решений.

т.к. [pic 21]

 - базисный минор, то переменные х1, х3 – базисные переменные, а х2, х4 – свободные. Выпишем систему, полученную после преобразований:[pic 22]

[pic 23]

Свободные переменные перенесем в правую часть равенств:

[pic 24]

Таким образом, общее решение системы:

[pic 25]

где  - произвольные постоянные.[pic 26]

Ответ:  .[pic 27]

4. Даны четыре вектора:

[pic 28]

в некотором базисе. Показать, что векторы  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.[pic 29][pic 30]

Решение

Покажем, что векторы [pic 31] образуют базис трехмерного пространства. Для этого найдем определитель, составленный из координат этих векторов: