Контрольная работа по "Математике"

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1.[pic 1];1.2.[pic 2];

1.3. [pic 3];1.4.[pic 4];

1.1 [pic 5]

1.2 [pic 6]

1.3 [pic 7]

1.4 [pic 8]

Задание 2

Найти производные заданных функций:

2.1[pic 9] 2.2  [pic 10] 2.3 [pic 11]

2.1 [pic 12]

[pic 13]

2.2  [pic 14]

[pic 15]

2.3 [pic 16]

[pic 17]

Задание 3

Вычислить приближенное значение  [pic 18]

Рассмотрим функцию двух переменных [pic 19]. Мы должны приближенно найти ее значение при х=8,003; [pic 20], т.е. [pic 21].

Как и всегда в подобных задачах, сначала находим вблизи от данной точки [pic 22] такую точку, в которой удобно вычислить точное значение функции. В нашем случае эта точка [pic 23] - в ней легко найти значение функции, взяв [pic 24], [pic 25]: [pic 26].

Разность значений функции  в данной и найденной нами точках [pic 27] -  приращение функции z, вызванное приращениями аргументов [pic 28] и [pic 29].

Точное равенство [pic 30] нам придется заменить приближенным [pic 31], где [pic 32]- дифференциал функции z, отвечающий приращениям аргументов [pic 33] и [pic 34]. Он находится по формуле [pic 35].

Найдем значение [pic 36] и подставим его в равенство [pic 37] вместе с найденным ранее [pic 38]

Вычислим частные производные [pic 39] и [pic 40].

[pic 41];             [pic 42].

Найдем значения частных производных в точке [pic 43]:

[pic 44];         [pic 45].

Подставив найденные значения частных производных и приращений аргументов в равенство [pic 46], находим значение дифференциала рассматриваемой функции в точке [pic 47]:

[pic 48].

Осталось подставить найденные значения [pic 49] и [pic 50] в равенство [pic 51]:

[pic 52].

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Задание 5

Провести полное исследование функции  у=-х3-3х2-2 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х0=1.