Контрольная работа по "Математике"

Содержание

Задание 1…………………………………………………………………………..3

Задание 2…………………………………………………………………………..4

Задание 3…………………………………………………………………………..5

Задание 4…………………………………………………………………………..5

Задание 5…………………………………………………………………………..5

Задание 6…………………………………………………………………………..6

Задание 7…………………………………………………………………………..6

Задание 8…………………………………………………………………………..8

Список использованной литературы…………………………………………….9

Задание 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)

б)

в)

г)

а) ∫▒(x^2 dx)/(1+x)=∫▒〖(x^2-1+1)/(1+x) dx〗=∫▒〖(x^2-1)/(x+1) dx〗+∫▒〖1/(x+1) dx〗=∫▒〖(x-1)(x+1)/(x+1) dx〗+∫▒〖1/(x+1) dx〗=∫▒(x-1)dx+∫▒〖1/(x+1) dx〗=∫▒xdx-∫▒dx+∫▒〖1/(x+1) dx〗=x^2/2-x+ln|x+1|+C;

(x^2/2-x+ln|x+1|+C)^'=(x^2/2)^'-(x)^'+(ln|x+1| )^'+(C)^'=1/2*2x-1+ 1/(x+1)+0=x-1+ 1/(x+1)+0=((x-1)(x+1)+1)/(x+1)=(x^2-1+1)/(x+1)=x^2/(x+1)=x^2/(1+x).

б) ∫▒〖√(1-x^2 ) dx=x/2〗 √(1-x^2 )+1/2 arcsin x/2+C;

г) ∫▒〖x^3/(x^2-1) dx〗=∫▒〖(x^3+1-1)/(x^2-1) dx〗=∫▒〖(x^3+1)/(x^2-1) dx〗-∫▒〖1/(x^2-1) dx〗=∫▒〖(x+1)(x^2-x+1)/(x^2-1) dx〗-∫▒〖1/(x^2-1) dx〗=∫▒〖(x^2-x+1)/(x-1) dx〗-∫▒〖1/(x^2-1) dx〗=∫▒〖(x^2-x)/(x-1) dx〗+∫▒〖1/(x-1) dx〗-∫▒〖1/(x^2-1) dx〗=∫▒xdx+∫▒〖1/(x-1) dx〗+∫▒〖1/〖1-x〗^2 dx〗=x^2/2+ln|x-1|-1/2 ln|(1+x)/(1-x)|+C.

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

-x^2+6x-5=-x+1;

x^2-7x+6=0→x_1=1;x_2=6;

|S|=∫_1^6▒(-x+1-(-x^2+6x-5) ) dx=∫_1^6▒(x^2-7x+6) dx=∫_1^6▒x^2 dx-∫_1^6▒7x dx+∫_1^6▒6 dx=x^3/3 |■(6@1)┤-〖7x〗^2/2 |■(6@1)┤+6x|■(6@1)┤=1/3 (6^3-1)-7/2 (6^2-1)+6(6-1)=72-122,5+35=107-122,5=|-15,5|=15,5.

Задание 3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Несобственный интеграл первого рода

Несобственный интеграл второго рода

∫▒dx/(x(lnx)^2 )=[lnx=t;dx/x=dt]=∫▒dt/t^2 =t^(-1)/(-1)+C=-1/t+C=-1/lnx+C;

∫_2^∞▒dx/(x(lnx)^2 )=-lim┬(x→∞)⁡〖1/lnx |■(a@2)┤〗=-lim┬(a→∞)⁡(1/lna-1/ln2)=-(0-1/ln2)=1/ln2≈1,44.

Задание 4. В течение рабочего дня производительность труда меняется по закону . Сколько продукции будет изготовлено за восьмичасовой рабочий день?

u(t)=∫▒(32+4t-t^2 ) dt=∫▒32 dt+∫▒4t dt-∫▒t^2 dt=32t+4*t^2/2-t^3/3=32t+〖2t〗^2-t^3/3;

u(8)=32*8+2*64-512/3≈213 ед.

Задание 5. Найти полный дифференциал