Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа.

1. Найти [pic 1], используя определения определённого интеграла.

Решение:

По определения определённого интеграла:

[pic 2]

Ответ: [pic 3]

2. Используя теорему о замене переменной в определённом интеграле, докажите равенство (считать, что функция [pic 4] непрерывна на данном отрезке)

[pic 5]

Решение:

Рассмотрим первый интеграл суммы [pic 6] Применим теорему о замене переменной в определённом интеграле и введём замену:

Введём замену[pic 7], тогда имеем:

[pic 8]

Учитывая, что если [pic 9] [pic 10] то, получаем:

[pic 11]

Рассмотрим второй интеграл суммы [pic 12]

Введём замену[pic 13], тогда имеем:

[pic 14]

Учитывая, что если [pic 15] то [pic 16], получаем:

[pic 17]

Вычислим сумму интегралов [pic 18].

[pic 19]

Что и нажно было доказать.

3. Найти точки экстремума функции [pic 20]

Решение:

Для вычисления интеграла разделим многочлен [pic 21] на [pic 22].

[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

Следовательно [pic 35].

Подставим (1) в наш интеграл, получаем и вычислим его.

[pic 36]

Найдём производную функции [pic 37].

[pic 38]

Приравниваем значение производной к нолю.

[pic 39]

Найдём знак производной по левуя и правую сторону от точки [pic 40]

При [pic 41], [pic 42]

При [pic 43], [pic 44]

Следовательно [pic 45] - точка минимума.

Ответ: [pic 46] - точка минимума.

4. Найти плолщадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах [pic 47]

Решение:

Построим график данной фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: [pic 48] рисунок 1.