Контрольная работа по "Математике"
Автор: Anna06071991 • Октябрь 11, 2019 • Контрольная работа • 6,021 Слов (25 Страниц) • 289 Просмотры
Математика 1
Задание 1.
Вычислить определитель:
а) разложив его по элементам i-ой строки;
б) разложив его по элементам j-го столбца.
[pic 1], i = 2, j = 3.
Решение.
а) Вычислим определитель разложением по элементам 2-й строки:
[pic 2][pic 3][pic 4]
[pic 5]
Определители 3-го порядка вычислим по «правилу треугольника»:
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
Окончательно получаем:
[pic 9]
б) Вычислим определитель разложением по элементам 3-го столбца:
[pic 10][pic 11][pic 12]
[pic 13]
Определители 3-го порядка вычислим по «правилу треугольника»:
[pic 14]
[pic 15] (вычислен в пункте а);
[pic 16]
Окончательно получаем:
[pic 17]
Ответ: [pic 18].
Задание 2.
Даны две матрицы А и В. Найти:
а) 2А + 3В – nE;
б) АВ;
в) A-1,
где n = 3.
A = [pic 19], B = [pic 20].
Решение.
а) [pic 21].
Будем выполнять по действиям, используя операцию умножения матрицы на число и операцию сложения матриц:
[pic 22]2 ∙ [pic 23] = [pic 24] = [pic 25];
[pic 26]3 ∙ [pic 27] = [pic 28] = [pic 29];
[pic 30] [pic 31] ∙ [pic 32] = [pic 33] = [pic 34];
[pic 35][pic 36] + [pic 37] + [pic 38] =
= [pic 39] = [pic 40].
б) [pic 41].
Произведение матрицы A на матрицу B возможно, поскольку число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Найдём матрицу C произведения матриц A и B. Для этого вычислим её элементы, умножая элементы каждой строки матрицы A на соответствующие элементы столбцов матрицы B:
[pic 42] [pic 43] ∙ [pic 44] =
= [pic 45] =
= [pic 46] = [pic 47].
в) A-1.
Вычислим определитель матрицы A:
[pic 48]
Поскольку [pic 49], то матрица A необратима, то есть для неё не существует обратная матрица A-1.
Ответ: а) [pic 50]; б) [pic 51]; в) не существует.
Задание 3.
Решить систему линейных уравнений:
а) по формулам Крамера;
б) матричным методом.
[pic 52]
Решение.
Запишем данную систему в матричном виде AX = B, где:
где [pic 53][pic 54] – матрица коэффициентов при неизвестных;
[pic 55][pic 56] – матрица-столбец неизвестных;
[pic 57][pic 58] – матрица-столбец свободных членов.
Проверим совместность системы.
Согласно теореме Кронекера-Капелли, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то такая система совместна. В частности, если число уравнений равно числу неизвестных, то для того, чтобы система была совместна и имела единственное решение, достаточно, чтобы главный определитель системы не был равен нулю.
В данной задаче три уравнения с тремя неизвестными. Вычислим главный определитель системы (определитель матрицы [pic 59]):
...