Контрольная работа по "Математике"

                                              Контрольная работа  №1.

40.  Дано:[pic 1]

Доказать совместность системы линейных алгебраических уравнений и решить её: 1) используя формулы Крамера; 2) методом Гаусса.

                                                  Решение.

Совместность данной системы уравнений докажем, используя теорему Кронекера – Капелли:

«Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы».

Основная матрица системы:[pic 2]

Расширенная матрица системы:[pic 3]

 Ранг расширенной матрицы системы равен

[pic 4]

т. к. наибольший из порядков миноров данной матрицы / 3-ий порядок/, например

отличен от нуля.[pic 5]

 Ранг основной матрицы также равен трём: [pic 6]

Таким образом, система совместна, причём имеет единственное решение, т. к. ранг системы равен числу неизвестных.

Решаем систему по формулам Крамера.[pic 7]

где  Δ  - определитель основной системы; Δxi - определитель, получающийся заменой i – ого столбца определителя основной системы столбцом свободных членов. Имеем:[pic 8]

[pic 9]

Решаем систему методом Гаусса. Приводим расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.[pic 10]

Умножим первую строку матрицы на –4/7 и сложим со второй. Получим эквивалентную матрицу:

[pic 11]

Далее, прибавим к третьей строке первую, умноженную на –2/7:

[pic 12]

Вторую строку умножим на –31/20 и сложим с третьей:[pic 13]

Получаем систему, эквивалентную исходной:[pic 14]

Из третьего уравнения находим:

[pic 15]

Из второго:[pic 16]

Из первого:[pic 17]

Возможно также применение метода исключения Гаусса – Жордана:

[pic 18]

60. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. [pic 19]

Найти:

1. длину ребра АВ;
2. величину угла (в градусах и минутах) между рёбрами АВ и AD;
3. площадь грани АВС;

Сделать чертёж в декартовой системе координат.

                                                          Решение.

1). Расстояние между двумя точками Р1(x1;y1;z1) и P2(x2;y2;z2) находится по формуле:[pic 20]

Находим:[pic 21]

2). Угол γ между прямыми АВ и АD, направление которых определяется векторами AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA) и AD(xD-xA;yD-yA;zD-zA):

[pic 22][pic 23]

Отсюда[pic 24]

3). Площадь S грани (треугольника) АВС определяется формулой:[pic 25]

Вычисляем:[pic 26]

Пирамида:

80. Дано:[pic 27]

Записать число[pic 28]

в алгебраической и тригонометрической формах; построить число  z  на комплексной плоскости.

                                                             Решение.

Выполним деление. Для комплексных чисел[pic 29]

имеет место формула:[pic 30][pic 31]

При сложении комплексных чисел складываются соответствующие их части:

[pic 32]

Тригонометрическая форма. Находим модуль числа z:[pic 33]

Главное значение аргумента (принадлежащее промежутку [0;2π)):