Контрольная работа по "Математике"

Задача 1

Вычислить интеграл:

Решение:

Переписываем подинтегральное выражение:

(-x+3)/(x^2-x-12)=-x/(x^2-x-12)+3/(x^2-x-12)

Интегрируем почленно:

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

∫▒〖-x/(x^2-x-12) dx〗=-∫▒〖-x/(x^2-x-12) dx〗

Переписываем подынтегральное выражение:

x/(x^2-x-12)=3/(7x+21)+4/(7x-28)

Интегрируем почленно:

∫▒〖3/(7x+21) dx=3/7 ∫▒〖1/(x+3) dx〗〗

Пусть u=x+3

Тогда пусть du=dx и подставим du:

∫▒〖1/u du〗

Интеграл 1/u есть log⁡(u)

Если сейчас заменить u ещё в: log⁡(x+3)

Таким образом, результат будет: 3/7 log⁡(x+3)

Далее:

∫▒〖4/(7x-28) dx〗=4/7 ∫▒〖1/(x-4) dx〗

Пусть u=x-4

Тогда пусть du=dx и подставим du:

∫▒〖1/u du〗

Интеграл 1/u есть log⁡(u)

Если сейчас заменить u ещё в: log⁡(x-4)

Таким образом, результат будет: 4/7 log⁡(x-4)

Ответ: 4/7 log⁡(x-4)+3/7 log⁡(x-3)

Задача 2

Вычислить интеграл:

Решение:

Перепишем подинтегральную функцию:

(2x-7)/(x^2-x+2)=(2x+1)/(x^2-x+2)-24/(7*(((-2√7)/7 x+√7/7)^2+1) )

В интеграле ∫▒〖(2x+1)/(x^2-x+2) dx〗 делаем замену u=x^2-x

Тогда интеграл: ∫▒〖1/(2+u) du〗=log⁡(2+u)

Делаем обратную замену: ∫▒〖(2x-1)/(x^2-x+2) dx〗=log⁡(2+x^2-x)