Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа № 1

Задание 1 к разделу 1.

        Решить систему алгебраических уравнений:

1. по правилу Крамера;

2. методом Гаусса;

3. матричным способом.

[pic 1]

        Решение.

        1. Правило Крамера.

        Вычислим Δ по правилу Сарруса. Для этого допишем справа два первых столбца определителя. Проведём главную диагональ и побочную, а также по две параллельных линии для каждой диагонали. Произведение элементов, стоящих на линиях, параллельных главной диагонали, берём со знаком «плюс», а произведение элементов, стоящих на линиях, параллельных побочной диагонали, со знаком «минус»:

[pic 2]

        Так как [pic 3], то данная система совместна и имеет единственное решение.

        Находим дополнительные определители:

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

        Следовательно:

[pic 7].

        Ответ: [pic 8].

        2. Метод Гаусса.

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

        Ответ: [pic 15].

        3. Матричный метод.

        Запишем систему в матричном виде A · X = B, где

[pic 16][pic 17],  [pic 18][pic 19],  [pic 20][pic 21].

        Вектор-столбец неизвестных X находится по формуле:

X = A-1 · B,

где A-1 – матрица, обратная к матрице A.

        Построим обратную матрицу A-1. Вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам:

[pic 22],   [pic 23],      [pic 24],

[pic 25],    [pic 26],   [pic 27],

[pic 28],  [pic 29],      [pic 30].

        Следовательно, A-1 имеет вид:

[pic 31][pic 32][pic 33] = [pic 34].

        Находим матрицу-решение:

[pic 35][pic 36]∙[pic 37] = [pic 38] = [pic 39] =

= [pic 40][pic 41][pic 42] = [pic 43].

        Ответ: [pic 44].

        Задание 1 к разделу 2.

        Даны координаты точек

A(-2; 1; 0);  B(3; 2; 4);  C(-3; 1; 2).

        Найти:

1) периметр ΔABC;

2) больший угол ΔABC;

3) площадь ΔABC;

4) уравнение прямой (AB);

5) уравнение плоскости ΔABC.

        Решение.

        Составим векторы [pic 45],  [pic 46] и [pic 47]:

[pic 48];

[pic 49];

[pic 50].

        1) Найдём длины сторон треугольника (равны модулям векторов):

[pic 51] ед.;

[pic 52] ед.;

[pic 53] ед.

        Следовательно, периметр ∆ABC равен:

[pic 54] ед.

        2) Найдём косинусы углов ∆ABC с помощью скалярного произведения:

[pic 55];

[pic 56]

[pic 57]

        Наибольший угол ∆ABC равен:

[pic 58].

        3) Площадь ∆ABC определяется с учётом геометрического смысла векторного произведения:

[pic 59].

        Найдём векторное произведение векторов [pic 60] и [pic 61]:

[pic 62].

        Следовательно:

[pic 63] кв. ед.

        4) Составим уравнение прямой (AB):

(AB):        [pic 64][pic 65][pic 66].

        5) Составим уравнение плоскости, содержащей ∆ABC:

(ABC):        [pic 67];

[pic 68];

[pic 69];

[pic 70];

[pic 71];

[pic 72] – общее уравнение плоскости (ABC).