Контрольная работа по "Математике"

СОДЕРЖАНИЕ

Задача № 6

Посадили по одному саженцу яблони и груши. Вероятность того, что приживётся саженец яблони, равна 0,9, саженец груши – 0,8. Найти вероятность того, что приживётся хотя бы один саженец.

Решение.

Обозначим событие: А – прирастет саженец яблони, В – прирастет саженец груши.

1 способ.

Интересующее нас событие является суммой событий А и В, поэтому:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А×В)

Р (А + В) = 0,9 + 0,8 – 0,72 = 0,98.

2 способ.

Событие С (прирастет хотя бы один саженец) и  (ни один из саженцев не прирастет), поэтому[pic 1]

Р(С) + Р() = 1[pic 2]

Следовательно

Р (С) = 1 – Р ([pic 3]

Событие  является произведением событий  и  .[pic 4][pic 5][pic 6]

Таким образом, Р (С) = 1 – Р ( × Р ( = 1 – 0,1×0,2 = 1 – 0,02 = 0,98.[pic 7][pic 8]

Ответ: Вероятность того, что приживется хотя бы один саженец равна 0,98.

Задача № 16

В магазин поступили 2 партии лампочек с двух заводов, причём k1% с первого завода и k2 % со второго. Известно, что 500 часов работают безотказно каждые n1 лампочек из 100 первого и n2 из 100 второго завода. Наудачу из каждой партии выбирают по одной лампочке.

1) Какова, вероятность обнаружить среди них:

а) две лампочки, которые проработают по 500часов;

б) две лампочки, которые не проработают по 500 часов;

в) только одну лампочку, которая проработает 500 часов;

г) хотя бы одну лампочку, которая проработает 500 часов?

2) Найти вероятность, что наудачу взятая лампочка будет лампочкой со второго завода, если она проработала 500 часов.

Решение

1. а) А = { две наудачу выбранные лампочки, по одной из каждой партии, которые прорабатывают по 500 часов}. Обозначим через события: =  наудачу выбранная лампочка из первой партии, которая проработает 500 часов};  = {наудачу выбранная лампочка со второй партии, которая проработает 500 часов}.[pic 9][pic 10][pic 11]

Очевидно, что событие А можно представить как сумму, несовместных событий  и  (А = ).[pic 12][pic 13][pic 14]

Найдем вероятности событий Р( и Р().[pic 15][pic 16]

По условию Р(   Р(.[pic 17][pic 18]

                   и Р(   Р(.[pic 19][pic 20]

тогда Р ([pic 21]

          Р ([pic 22]

Р(А) = Р([pic 23]

Ответ: а) 0,892.

б) Так как А = {две наудачу выбранные лампочки, по одной из каждой партии, то событие А – противоположное ему, т.е. событие А – противоположное ему, т.е. событие  =  две наудачу выбранные лампочки, по одной из каждой партии, которые не проработают по 500 часов}.[pic 24][pic 25]

Р(А) + Р() = 1 отсюда Р() = 1 – 0,892 = 0,108.[pic 26][pic 27]

Ответ: б) 0,108.

в) Событие А = {только одна лампочка из взятых, в 2-х партия, которая отработает 500 часов}. Пусть - событие, состоящее в том, что лампочка которая отработает 500 часов, взята из первой партии, а  = {лампочка, которая отработает 500 часов, взята из второй партии}. Событие  , появилось первое событие и не появилось второе.[pic 28][pic 29][pic 30]

Аналогично  = × [pic 31][pic 32][pic 33]

События  и  несовместные, поэтому Р Р( = Р (× Р + Р ( × Р = 07×0,15 = 0,3×0,09 = 0,105 + 0,27 = 0,132.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]