Контрольная работа по "Математике"

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»

Зачетная (экзаменационная) работа

(1 семестра)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: Математика

название дисциплины

Выполнил(а):

(Ф.И.О. студента)

Государстенное и муницпальное управление, ГМН-118(1)                .

(направление, группа)

Проверил(а):

           .

(Ф.И.О. преподавателя)

13.08.2018______________________

(дата)

Омск 2018 г.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ЗАДАЧА № 10

Найти матрицу D = AB – 2 C.

A = , B = , C = [pic 1][pic 2][pic 3]

РЕШЕНИЕ:

1. Умножим матрицы: E = A x B.

Матрица А состоит из m-n элементов, расположенных в m строках и n столбцах. Если

аij – произвольный элемент матрицы, то индекс i (номер строки) принимает значения от 1 до m, индекс j (номер столбца) принимает значения от 1 до n. Записывают: i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,..,n.

Умножение A на B допустимо (произведение AB существует), так как число столбцов A равно числу строк B (две матрицы согласуются по форме).

 =  +   + … +   = [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Элемент  матрицы Е = A x B, стоящий в i-той строке и j-том столбце, равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B . Таким образом, умножение осуществляется по правилу умножения строки на столбец.[pic 9]

E =    =  = =[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

2. Умножим матрицу на число: F = 2C.

В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

F = 2   = [pic 15][pic 16][pic 17]

3. Вычитание матриц: D = E – F

Это операция нахождения разности двух матриц одного и того же размера, которая определяется через сложение матриц и через умножение матрицы на число.

Разность матриц E и F – это матрица D = E – F такого же размера как исходные матрицы, получаемая из исходных путем прибавления к матрице E матрицы F, умноженной на -1.

D = -  =  [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

ОТВЕТ: Матрица D = .[pic 22]

ЗАДАЧА № 20 

Дана невырожденная матрица A. Найти обратную матрицу  и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что , где Е – единичная матрица [7]. [pic 23][pic 24]

А = [pic 25]

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем обратную матрицу A-1.

Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

A-1 = ,[pic 26]

где  – определитель матрицы ,  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А. Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д. [pic 27][pic 28]

Сначала находим определитель матрицы «три на три» с помощью формулы: 

=  + [pic 29][pic 30][pic 31]

 =  = 0*(-2) * 1 + 1*1*(-4) + 2*1*1 – 1*(-2)*1 – 0*1*(-4) – 2*1*1 = 0 - 4 +2 + 2 – 0 – 2 = - 2[pic 32][pic 33]

или определитель можно раскрыть по первой строке:

 = 0 *  – 1 * + 1 *  = 0 * (-2+4) – 1 * (2+4) + 1 * (2+2) = 0 – 6 + 4 = -2[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

  = -2 ≠ 0[pic 38]

Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Находим матрицу миноров М, которая имеет размерность «три на три», поэтому необходимо вычислить девять определителей «два на два».

Минором   к элементу     определителя n-го порядка называется определитель  (n – 1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и  j-того столбца.[pic 39][pic 40]