Контрольная работа по "Математике"

Вариант 9

Задание 1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение: Введем события:

А1 – при аварии сработает первый сигнализатор;

А2 – при аварии сработает второй сигнализатор.

По условию задачи [pic 1] 

Введем событие A – при аварии сработает только один сигнализатор. Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть [pic 2]

Тогда вероятность события A по теоремам сложения и умножения вероятностей равна:

[pic 3]

Ответ: 0,14.

Задание 2. Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы – 0,1, а при форсированном – 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% – в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?

Решение: Имеются следующие гипотезы случайного события:

[pic 4] – двигатель работает на холостом ходу;

[pic 5] – двигатель работает в нормальном режиме;

[pic 6] – двигатель работает в форсированном режиме.

Тогда вероятности гипотез равны:

[pic 7]

Случайное событие A – двигатель вышел из строя во время работы.

Вероятность выхода из строя двигателя, если он работает на холостом ходу, в нормальном и форсированном режиме, есть условные вероятности:

[pic 8]

По формуле полной вероятности найдем вероятность события A:

[pic 9]

Ответ: 0,215.

Задание 3. Владелец универсама считает, что в среднем каждый пятый посетитель его магазина совершает покупку. Допуская, что предположение владельца верно, определить вероятность того, что а) двое из восьми посетителей универсама совершают покупки; б) хотя бы один из пяти посетителей универсама совершит покупку.

Решение: Поскольку вероятность покупки для каждого посетителя постоянна и не зависит от совершения покупок другими посетителями, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности совершения покупок посетителями могут быть рассчитаны по закону Бернулли:

[pic 10]

где [pic 11] вероятность совершения покупок [pic 12] посетителями из совокупности в [pic 13] посетителей;

[pic 14] вероятность совершения покупки каждым посетителем, [pic 15]

[pic 16] вероятность не совершения покупки каждым посетителем, [pic 17]

n – количество посетителей в совокупности;

m – количество посетителей совершивших покупки;

[pic 18] – число сочетаний из n по m, [pic 19]

а) [pic 20] получим: 

[pic 21]

б) так как события «хотя бы один из пяти» и «ни одного из пяти» противоположные, то:

[pic 22]

Получим: [pic 23]

Ответ: а) 0,2036;  б) 0,6723.

Задание 4. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,003. Проверяется книга, содержащая 700 страниц. Какова вероятность того, что не менее двух страниц содержат опечатки?

Решение: Найдем вероятность того, что из 700 страниц не менее 2 страниц содержат отпечатки. Используем интегральную теорему Лапласа

[pic 24]

где [pic 25] – функция Лапласа, которая находится по таблице значений функции Лапласа.

Получим:

[pic 26]

Ответ: 0,5279.

Задание 5. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Найти ряд распределения и математическое ожидание числа промахов, если вероятность попадания в цель случайной величины X − при одном выстреле равна 0,7.