Контрольная работа по "Математике"

Задание №1.3. Найти предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

[pic 1]

[pic 2]

Решение

[pic 3]

При  неопределенности нет:[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Так как при   числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на :[pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

При   имеем неопределенность вида  Выражение, стоящее под знаком предела, приводим к такому виду, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Так как при   числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то имеем неопределенность вида . По свойствам основных эквивалентностей для бесконечно малых функций имеем при :[pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Задание №2.3. Найти производные указанных функций.

[pic 25]

Решение

Воспользуемся свойствами

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Тогда:

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

Логарифмируем исходную функцию

[pic 36]

Тогда

[pic 37]

[pic 38]

Тогда

[pic 39]

Задание №3.3. Найти  и .[pic 40][pic 41]

[pic 42]

Решение

[pic 43]

Найдем первую производную:

[pic 44]

Найдем вторую производную:

[pic 45]

[pic 46]

Найдем частные производные первого прядка:

[pic 47]

[pic 48]

Первую производную от функции, заданной параметрически, вычислим по формуле

[pic 49]

Найдем частные производные второго прядка:

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

Вторую производную от функции, заданной параметрически, вычислим по формуле

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Задание №4.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .[pic 56][pic 57]

[pic 58]

Решение

Найдем область определения функции.

[pic 59]

Найдем значения функции на границе заданного отрезка и в нулях первой производной:

[pic 60]

На промежутке   при  и при .[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

Таким образом, наибольшее значение функции:

[pic 69]

Наименьшее значение функции:

[pic 70]

Задание №5.3. Провести полное исследование и построить график функции.

[pic 71]

Решение

При  получим 0 в знаменателе второй функции. Очевидно, условие задачи ошибочно, и его следует читать как:[pic 72]

[pic 73]

Поскольку при  функция  постоянна (график – прямая, параллельная оси ), то проведем полное исследование функции [pic 74][pic 75][pic 76]

[pic 77]

и при построении графика при  построим прямую  .[pic 78][pic 79]

1). Найдем область определения функции. Функция не определена в точках  и , в которых знаменатель обращается в нуль.[pic 80][pic 81]

[pic 82]

2). Исследуем функцию на четность и нечетность. Функция является нечетной, так как

[pic 83]

Значит, график функции симметричен относительно начала координат.