Контрольная работа по "Математике"

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Тихоокеанский государственный университет»

Кафедра «Высшая математика»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Математика

Выполнил: студент группы

АС (аб) зуд-81

заочной формы обучения

Ф.И.О. Кожухарь Ю. А.

№ зачетной книжки 180000542

Проверил: ___________________

Хабаровск 2019 г.

Контрольная работа №1

Вариант 2

1. Операции над матрицами

1-10. Даны матрицы А и В. Найдите те произведения [pic 1] и [pic 2], которые существуют

2.

[pic 3]

Решение:

При умножении матриц число столбцов в матрице слева должно быть равно числу строк в матрице справа.

Отсюда возможно только произведение:

[pic 4]

2. Системы линейных уравнении

11-20. Решите систему линейных уравнений тремя способами:

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) средствами матричного исчисления.

12.

[pic 5]

Решение:

Система в матричном виде [pic 6]

[pic 7]

а)

найдем соответствующие определители:

[pic 8]

По формулам Крамера:

[pic 9]

б)

выпишем расширенную матрицу системы

[pic 10]

Переставим местами 1 и 2 строки:

[pic 11]

Вычтем из второй строки 6 первых строки, из третьей – одну:

[pic 12]

Прибавим к третьей строке одну вторую строки

[pic 13]

Из третьей строки преобразованной матрицы:

[pic 14]

Из второй:

[pic 15]

Из первой:

[pic 16]

в)

обратная матрица:

[pic 17]

Матрица алгебраических дополнений:

[pic 18]

Отсюда

[pic 19]

Решение системы:

[pic 20]

[pic 21]

Ответ: [pic 22]

3. Аналитическая геометрия

21-30. Даны вершины пирамиды А1А2А3А4. Найдите:

а) длину ребра А1А2;

б) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

в) площадь грани А1А2А3;

г) объем пирамиды;

д) уравнение прямой  А1А2;

е) уравнение плоскости А1А2А3.

22.

[pic 23]

Решение:

1)

Длина ребра равна расстоянию между двумя точками – его вершинами:

[pic 24] 

2)

Из свойств скалярного произведения, угол между векторами

[pic 25]

Векторы:

[pic 26] 

[pic 27]

3)

Площадь грани [pic 28] равна площади треугольника, построенного на векторах[pic 29]

[pic 30]

Где векторное произведение

[pic 31]

[pic 32] 

[pic 33]

[pic 34]

4)

Объем пирамиды, построенной на векторах [pic 35]

[pic 36]

[pic 37] 

5)

Уравнение прямой, проходящей через две точки определяется соотношением:

[pic 38] 

[pic 39] 

6)

Из свойств векторного произведения вектор нормали к  плоскости [pic 40] [pic 41]

Тогда общий вид уравнения плоскости

[pic 42]

[pic 43]

Т.к. точка [pic 44] принадлежит плоскости, её координаты удовлетворяют уравнению:

        [pic 45]

Искомое уравнение:

[pic 46]

4. Пределы функций

31-40. Вычислите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

32.

а)

[pic 47]

[pic 48]

б)

[pic 49] 

Разложим числитель на множители, для этого найдем его корни:

[pic 50]

Знаменатель разложим используя формулу разности квадратов