Контрольная работа по "Математике"

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации[pic 1]

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ»

(СГУГиТ)

Институт дистанционного обучения

Контрольная работа

по математике №2

Новосибирск 2019

Задание 1

   Даны вершины пирамиды. A(4,2,5), B(0,7,1), C(0,2,7), D(1,5,0)

   Найти: а) угол между гранями ABC и ABD; б) каноническое и параметрические уравнения прямой CD; в) уравнение плоскости параллельной плоскости ABС, проходящей через точку D; г) каноническое уравнение высоты пирамиды

                                                Решение

а) Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

                                    .[pic 2]

Нормали плоскостей найдём по формулам: n1=  n2=[pic 3][pic 4]

Найдём вектора :

 = {0-4, 7-2, 1-5} = {-4,5,-4}[pic 5]

 {0-4, 2-2, 7-5} = {-4, 0, 2}[pic 6]

 = {1-4, 5-2, 0-5} = {-3, 3, -5}[pic 7]

Найдём нормали к плоскости

i (5·2 - (-4)·0) - j ((-4)·2 - (-4)·(-4)) + k ((-4)·0 - 5·(-4)) =[pic 8]

= i (10 - 0) - j (-8 - 16) + k (0 + 20) = 10i + 24j + 20k.

     i (5·(-5) - (-4)·3) - j ((-4)·(-5) - (-4)·(-3)) + k ((-4)·3 - 5·(-3)) = 

 = i (-25 + 12) - j (20 - 12) + k (-12 + 15) = -13i – 8j+ 3k.[pic 9]

=.[pic 10][pic 11]

б)  Найдём вектор ={1-0;5-2;0-7}={1;3;-7}.[pic 12]

В качестве известной точки возьмём точку С и найдём каноническое уравнение прямой CD.

;[pic 13]

. - каноническое уравнение прямой CD.[pic 14]

   - параметрическое уравнение прямой.[pic 15]

в) Нормаль к плоскости ABC найдена в п. а) n1=10i + 24j + 20k .

По заданию в качестве известной точки берём точку D(1,5,0).

Подставляем известные данные в формулу и получаем:

10(x-1)+24(y-5)+20(z-0)=0;

10x+24y+20z-120=0, - уравнение искомой плоскости, проходящей через точку D.

г) Для нахождения высоты пирамиды используем в качестве направляющего вектора высоты n1=10i + 24j + 20k, известная с п. а).

, - каноническое уравнение высоты пирамиды.[pic 16]

Ответ: а)   б) ;   .[pic 17][pic 18][pic 19]

                в) 10x+24y+20z-120=0;  г).[pic 20]

                                                    Задание  2

Даны три точки на плоскости А(8,0),  В(-4,-5), С(-8,-2).

Найти: а) уравнение стороны AB; б) уравнение высоты, опущенной из вершины A; в) уравнение медианы, опущенной из вершины B; г) уравнение прямой, параллельной прямой BС, проходящей через точку А; д) угол при вершине B.  Сделать чертеж.

        Решение:

а) Составим уравнение стороны АВ.

AB= [pic 21]

AB=.[pic 22]

б) Вектором нормали высоты опушенной из точки А является вектор .[pic 23]

[pic 24]

Находим уравнение прямой:

[pic 25]

в) Обозначим середину стороны АС буквой М. Найдем координаты точки М по формуле деления отрезка пополам.

[pic 26]

[pic 27]

Найдём уравнение медианы BМ,

[pic 28]

г) Найдём угол при вершине В по теореме косинусов

.[pic 29]

Найдём модули векторов:

=[pic 30][pic 31]

 == 5;[pic 32][pic 33]

=  = 2.[pic 34][pic 35][pic 36]

Подставим данные в формулу:

 = 0,507 = 120,35 ̊ .[pic 37]

[pic 38]

Ответ: а) AB= ; б) ; в)  [pic 39][pic 40][pic 41]

                 г) ∠В=120,35 ̊ .

                                                Задание 3 [pic 42]

   Найти пределы :

  1) [pic 43]

  2)  [pic 44]

  3)  , воспользуемся свойством первого замечательного предела-[pic 45]